2005-福建卷文-12 单-周期偶函数的零点个数

本题导读

本题考查周期函数与偶函数的零点分布，以及解的个数最小值的构造验证。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 3 为周期的偶函数，且 $f(2)=0$，则方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,6)$ 内解的个数的最小值是()

A. $5$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶性得 $f(-2)=0$，周期平移得 $f(1)=f(4)=0$、$f(5)=0$。
2. $(0,6)$ 内至少 4 个解。
3. 构造具体偶周期函数验证恰 4 个。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由偶性得 $f(-2)=0$；由周期性得 $f(1)=f(-2+3)=f(-2)=0$，$f(4)=f(1+3)=0$，$f(5)=f(2+3)=0$，又 $f(2)=0$（题设）．因此 $(0,6)$ 内至少有 $1,2,4,5$ 四个解．这个下界可以取得：例如取 $f(x)=\cos \frac{2\pi x}{3}+\frac{1}{2}$，它是偶函数且以 3 为周期，$f(2)=\cos \frac{4\pi }{3}+\frac{1}{2}=0$，其零点满足 $x=1+3k$ 或 $x=2+3k$，在 $(0,6)$ 内恰为 $1,2,4,5$．故解的个数的最小值为 4，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期偶函数的零点个数

核心方法：偶性翻到 $-2$，周期平移收罗 $(0,6)$ 内全部必现零点

避坑指南：只由周期得 $f(5)=f(2)=0$ 而漏掉偶性提供的 $f(1)=f(4)=0$ 就会选 D；最小值还须构造实例证实可取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 函数的周期性与奇偶性

结论推广：偶函数叠加周期 $T$：$f(kT\pm x_0)$ 全部继承 $f(x_0)$ 的取值

方法推广：“必现零点 + 构造达到”是此类问题的完整逻辑：先找下界，再证可取

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期
• 2018-全国卷II文-12 单-函数奇偶性
• 2004-全国卷IV理-12 单-函数的奇偶性