2004-天津文-12 单-函数奇偶性与周期性

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性，以及求值。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是偶函数又是周期函数，若 $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$，且当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$f(x)=\sin x$，则 $f\left(\frac{5\pi }{3}\right)$ 的值为()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=f\left(\frac{5\pi }{3}-2\pi \right)=f\left(-\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 偶函数 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)$。
3. $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因 $f$ 以 $\pi$ 为最小正周期，故 $f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=f\left(\frac{5\pi }{3}-2\pi \right)=f\left(-\frac{\pi }{3}\right)$.又 $f$ 是偶函数，$f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性与周期性
2. 核心方法：$f$ 偶函数且周期 $\pi$，$f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=f\left(\frac{5\pi }{3}-2\pi \right)=f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. 避坑指南：先减周期再化偶：$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}$，偶函数 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：2004 年天津卷文科第 12 题把”偶函数、周期函数、半周期上的解析式”三件事叠起来，问一个远处点的函数值，考的是”能不能把远处的自变量搬回已知区间”。
2. 结论推广：搬的顺序建议”先减周期、再用奇偶”。本题 $\frac{5\pi }{3}$ 先减 $2\pi$ 得 $-\frac{\pi }{3}$，落在 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 而不是已知的 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$——很多人减完一个周期就停住，觉得还得再减，其实该翻号了。再用偶函数把 $-\frac{\pi }{3}$ 翻成 $\frac{\pi }{3}$，才真正落进已知区间。
3. 方法推广：减一个周期够不到就继续减；周期与奇偶的先后可以换，但”先减后翻”通常少出错——减周期是真正把数拉近，翻号只改符号不改大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-05 单-偶函数与周期
• 2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值
• 2005-福建卷文-12 单-周期偶函数的零点个数