2004-全国卷IV理-12 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及抽象函数与赋值法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 设函数 $f(x)(x\in \mathbf{R})$ 为奇函数， $f(1)=\frac{1}{2}$， $f(x+2)=f(x)+f(2)$，则 $f(5)=$ ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $f(0)$ 与 $f(2)$ 的值：由于 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，根据奇函数定义必有 $f(0)=0$。利用递推关系式 $f(x+2)=f(x)+f(2)$，令 $x=-1$ 结合奇偶性建立方程，求出常数项 $f(2)$ 的具体数值。
2. 递推求 $f(5)$：
   • 已经求得 $f(1)$ 和 $f(2)$，令 $x=1$ 代入递推式可求出 $f(3)$。
   • 再令 $x=3$ 代入递推式即可顺藤摸瓜求出 $f(5)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求核心常数项 $f(2)$ 因为函数 $f(x)$ 定义域为 $\mathbf{R}$ 且为奇函数，根据奇函数的基本几何特征： $f(-x)=-f(x)$ 令 $x=0$，可得 $f(0)=-f(0)⟹f(0)=0$。

  题目给出抽象递推式： $f(x+2)=f(x)+f(2)\text{（式1）}$ 在（式1）中，令 $x=-1$，代入得： $f(-1+2)=f(-1)+f(2)⟹f(1)=f(-1)+f(2)$ 根据奇函数性质， $f(-1)=-f(1)$，代入上式： $f(1)=-f(1)+f(2)⟹f(2)=2f(1)$ 已知 $f(1)=\frac{1}{2}$，所以： $f(2)=2\times \frac{1}{2}=1$

• 第二步：通过递推式顺次求目标项 将 $f(2)=1$ 代回（式1）中，得到该函数的具体递推步长公式： $f(x+2)=f(x)+1$

  • 令 $x=1$，代入步长公式得： $f(3)=f(1)+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$
  • 令 $x=3$，代入步长公式得： $f(5)=f(3)+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数隐含性质 $f(0)=0$（定义域含0时）、抽象函数解析关系的特殊值代入技巧。
2. 核心方法：变量赋值法、步长递推法。
3. 避坑指南：
   • 求解 $f(2)$ 时注意奇偶性符号的转换。有些同学由 $f(1)=f(-1)+f(2)$ 错看成 $f(1)=f(1)+f(2)⟹f(2)=0$，一旦常数项算错成 0，会导致整个递推关系退化为周期函数，从而算错。
   • 注意赋值的连贯性。求 $f(5)$ 应当顺着奇数项 $f(1)\to f(3)\to f(5)$ 的轴线赋正整数值，不要盲目去试偶数点的值，避免浪费宝贵的考试时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典代数函数板块中关于线性递推抽象函数的经典选择压轴题。
2. 结论推广: 一般地，若 $f(x)$ 是奇函数且满足 $f(x+T)=f(x)+f(T)$（本题中 $T=2$），则该函数在所有正整数倍点处满足正比例或算术级数扩张特征。事实上，可以证明满足该性质的连续函数必定是正比例函数 $f(x)=kx$。直接验证本题：由 $f(1)=\frac{1}{2}$，设 $f(x)=\frac{1}{2}x$，代入原方程 $f(x+2)=\frac{1}{2}(x+2)=\frac{1}{2}x+1$，而 $f(x)+f(2)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(2)=\frac{1}{2}x+1$，完全相符！故直接代入秒杀： $f(5)=\frac{1}{2}\times 5=\frac{5}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性