2005-山东卷文-22 解-抛物线轨迹与定点

本题导读

本题考查抛物线定义下的轨迹方程，以及参数化直线系过定点的证明。核心在于把倾斜角条件化为参数方程并读出定点。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 已知动圆过定点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，且与直线 $x=-\frac{p}{2}$ 相切，其中 $p>0$．

(1) 求动圆圆心 $C$ 的轨迹的方程；

(2) 设 $A$、$B$ 是轨迹 $C$ 上异于原点 $O$ 的两个不同点，直线 $OA$ 和 $OB$ 的倾斜角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，当 $\alpha$，$\beta$ 变化且 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$ 时，证明直线 $AB$ 恒过定点，并求出该定点的坐标．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 到定点距离等于到定直线距离，定义法得 $y^2=2px$。
2. 设 $A=(2p{u}^2,2pu)$，$B=(2p{v}^2,2pv)$，$u=\cot \alpha$，$v=\cot \beta$。
3. $\tan (\alpha +\beta )=1$ 给 $u+v=uv-1$，直线系读定点。

✅【答案】

Success

（1）设动圆圆心为C=(x,y)，则圆经过P=(p2,0)，且与直线x=−p2相切，所以半径的平方分别为(x−p

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设动圆圆心为 $C=(x,y)$，则圆经过点 $P=\left(\frac{p}{2},0\right)$，且与直线 $x=-\frac{p}{2}$ 相切，所以圆心到定点与到定直线的距离都等于半径，即 ${\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2$．展开化简得 $y^2=2px$．因此圆心轨迹为抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）． (2) 设 $u=\cot \alpha$，$v=\cot \beta$．因为 $A$，$B$ 是抛物线上异于原点的点，直线 $OA$、$OB$ 的斜率分别为 $\frac{1}{u}$、$\frac{1}{v}$（倾斜角不为 $\frac{\pi }{2}$ 的情形经检验不影响结论），分别代入抛物线可得 $A=(2p{u}^2,2pu)$，$B=(2p{v}^2,2pv)$．由 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$，$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=1$，用 $u=\cot \alpha$、$v=\cot \beta$ 表示即 $\frac{u+v}{uv-1}=1$，也即 $u+v=uv-1$．过上述两点的直线方程为 $x-(u+v)y+2puv=0$．令 $s=u+v$，则 $uv=s+1$，直线方程化为 $x+2p+s(2p-y)=0$．该方程对任意允许的 $s$ 都成立时，须 $x=-2p$ 且 $y=2p$，因此点 $(-2p,2p)$ 对任意允许的 $u$，$v$ 都在直线 $AB$ 上，故直线 $AB$ 恒过定点 $(-2p,2p)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线轨迹与定点

核心方法：到定点与定直线距离相等定义抛物线，参数点 $(2p{u}^2,2pu)$ 化直线系

避坑指南：$\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$ 化为 $\frac{u+v}{uv-1}=1$（$\tan$ 和角公式）；直线系 $x+2p+s(2p-y)=0$ 对一切 $s$ 过定点 $(-2p,2p)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 抛物线

结论推广：定义法得 $y^2=2px$；参数点 $A(2p{u}^2,2pu)$、$B(2p{v}^2,2pv)$，$\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$ 给 $u+v=uv-1$，直线系过 $(-2p,2p)$

方法推广：抛物线定点问题用参数坐标把斜率条件化为 $u,v$ 方程，再按含单参直线系读定点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III文-22 解-圆的参数方程
• 2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆
• 2012-大纲卷文-22 解-抛物线与圆公切线