2005-全国卷I文-05 单-双曲线准线离心率

本题导读

本题考查双曲线的准线与离心率，以及与抛物线准线的关联。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$（$a>0$）的一条准线与抛物线 $y^2=-6x$ 的准线重合，则该双曲线的离心率为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线 $y^2=-6x$ 的准线为 $x=\frac{3}{2}$。
2. 双曲线的准线 $x=\frac{a^2}{c}$，其中 $c=\sqrt{a^2+1}$，故 $\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{3}{2}$。
3. 两边平方解出 $a^2$，再求 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=-6x$ 中 $2p=6$，开口向左，准线为 $x=\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$． 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 的准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，$c=\sqrt{a^2+1}$． 由准线重合：$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{3}{2}$，平方得 $\frac{a^4}{a^2+1}=\frac{9}{4}$， 即 $4a^4=9a^2+9$，$4a^4-9a^2-9=0$，解得 $a^2=3$（负根舍去），$a=\sqrt{3}$． 故 $c=\sqrt{3+1}=2$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线准线离心率

核心方法：抛物线 $y^2=-6x$ 准线 $x=\frac{3}{2}$，即 $\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{3}{2}$，解得 $a^2=3$，$e=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：抛物线 $y^2=-2px$ 的准线是 $x=\frac{p}{2}$（开口向左在正半轴）；双曲线准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，解出 $a^2$ 后别忘 $c=\sqrt{a^2+1}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆锥曲线的共同元素——准线，教材”抛物线”与”双曲线”的综合

结论推广：一般化：两条曲线的准线（或焦点）重合时，联立各自的准线（焦点）方程即可建立参数关系

方法推广：把”重合”翻译成方程是突破口：抛物线 $y^2=\pm 2px$ 的准线与双曲线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$ 列等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2008-大纲Ⅰ文-15 填-椭圆定义离心率
• 2008-新课标Ⅰ文-02 单-双曲线焦距
• 2006-全国卷I文-04 单-双曲线实轴虚轴求参