2005-全国卷I文-02 单-球的截面与表面积

本题导读

本题考查球的表面积，以及球截面圆的半径与球半径的关系。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 一个与球心距离为 $1$ 的平面截球所得的圆面面积为 $\pi$，则球的表面积为()

A. $8\sqrt{2}\pi$　　　　　　　B. $8\pi$　　　　　　　C. $4\sqrt{2}\pi$　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 截面圆面积 $\pi$，故截面圆半径 $r=1$。
2. 球半径 $R$、球心距 $d=1$、截面半径 $r$ 构成直角三角形：$R^2=d^2+r^2$。
3. $R^2=1+1=2$，表面积 $4\pi R^2=8\pi$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设截面圆半径为 $r$，由面积 $\pi r^2=\pi$ 得 $r=1$． 球心 $O$、截面圆心 $O^{\prime }$、截面上一点 $A$ 构成直角三角形，其中 $O{O}^{\prime }=1$，$O^{\prime }A=r=1$，$OA=R$ 为球半径． 由勾股定理，$R^2=O{O}^{\prime 2}+O^{\prime }{A}^2=1+1=2$． 故球的表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \times 2=8\pi$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面与表面积

核心方法：截面圆半径 $r=1$（面积 $\pi$），球心距 $d=1$，由 $R^2=d^2+r^2=2$ 得表面积 $4\pi R^2=8\pi$

避坑指南：截面圆半径不是球半径；先由面积反求 $r$，再用 $R^2=d^2+r^2$，别把 $\pi$ 直接当成 $r^2$ 以外的信息漏用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于球的截面性质，教材”空间几何体”中球与小圆的勾股关系

结论推广：一般化：$R^2=d^2+r^2$（球半径、球心距、截面圆半径）；已知任意两个量可求第三个

方法推广：球的问题先画过球心与截面圆心的轴截面，把空间问题平面化

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-15 填-球的截面
• 2008-新课标Ⅰ文-14 填-六棱柱外接球
• 2010-大纲Ⅰ文-12 单-球内四面体体积
• 2006-全国卷I文-09 单-正四棱柱外接球