2006-全国卷I文-09 单-正四棱柱外接球

本题导读

本题考查正四棱柱的外接球，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 $4$，体积为 $16$，则这个球的表面积是()

A. $16\pi$　　　　　　　B. $20\pi$　　　　　　　C. $24\pi$　　　　　　　D. $32\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正四棱柱底面是正方形，底面积 $S=\frac{V}{h}=\frac{16}{4}=4$，边长 $2$。
2. 体对角线 $=\sqrt{2^2+2^2+4^2}=2\sqrt{6}$，即外接球直径。
3. 球半径 $r=\sqrt{6}$，表面积 $4\pi r^2=24\pi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

正四棱柱的底面是正方形，其底面积 $S=\frac{V}{h}=\frac{16}{4}=4$，故底面边长为 $2$． 正四棱柱的体对角线长 $=\sqrt{2^2+2^2+4^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$， 它等于外接球的直径，故球半径 $r=\sqrt{6}$． 球的表面积 $S_{球}=4\pi r^2=4\pi \times 6=24\pi$． 【注】答案册此题标注为 D（$32\pi$），系排印错误；按体对角线 $2\sqrt{6}$ 得半径 $\sqrt{6}$、表面积 $24\pi$，历年试题汇编及人人文库、百度文库均作 $24\pi$（选 C），故按 $24\pi$ 录入． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱外接球

核心方法：底面积 $=\frac{16}{4}=4$、边长 $2$，体对角线 $=\sqrt{2^2+2^2+4^2}=2\sqrt{6}$，球半径 $\sqrt{6}$，表面积 $4\pi \cdot 6=24\pi$

避坑指南：外接球直径是体对角线（不是面对角线）；半径是 $\sqrt{6}$，表面积 $24\pi$ 不是 $32\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于棱柱的外接球，教材”空间几何体的结构”中外接球模型

结论推广: 一般化：长方体（含正四棱柱）的外接球直径等于体对角线，$2R=\sqrt{l^2+w^2+h^2}$

方法推广: 外接球问题先找体对角线（球直径），再求半径算表面积或体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-14 填-六棱柱外接球
• 2009-大纲Ⅰ文-15 填-球的截面
• 2010-大纲Ⅰ文-12 单-球内四面体体积