2004-全国卷III文-14 填-球截面面积比

本题导读

本题考查球的截面，以及截面小圆面积与球面积的比值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 用平面 $\alpha$ 截半径为 $R$ 的球，如果球心到平面 $\alpha$ 的距离为 $\frac{R}{2}$，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 小圆半径 $r=\sqrt{R^2-{\left(\frac{R}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。
2. 小圆面积 $\pi r^2=\pi \cdot \frac{3}{4}{R}^2$，球面积 $4\pi R^2$。
3. 比值 $\frac{3}{4}÷4=\frac{3}{16}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

小圆半径 $r=\sqrt{R^2-{\left(\frac{R}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，小圆面积为 $\pi r^2=\pi \cdot \frac{3}{4}{R}^2$，球的表面积为 $4\pi R^2$，故比值为 $\frac{\pi \cdot \frac{3}{4}{R}^2}{4\pi R^2}=\frac{3}{16}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球截面面积比
2. 核心方法：球半径 $R$，球心到面距离 $\frac{R}{2}$：小圆半径 $\sqrt{R^2-(R/2{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$；面积比 $\frac{\pi \cdot \frac{3}{4}{R}^2}{4\pi R^2}=\frac{3}{16}$
3. 避坑指南：小圆面积 $\pi r^2=\pi \cdot \frac{3}{4}{R}^2$，球面积 $4\pi R^2$；别忘小圆半径用勾股求

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于球的截面，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：球心到截面距离 $d$ 时，小圆半径 $\sqrt{R^2-d^2}$，面积比 $=\frac{R^2-d^2}{4R^2}$；截面小圆半径用勾股，面积比是小圆面积比球面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-02 单-球的截面与表面积
• 2008-四川文-08 单-球截面圆面积比
• 2013-新课标Ⅰ文-15 填-球截面与表面积