2005-上海卷文-13 单-分式函数的单调性

本题导读

本题考查分式函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 若函数 $f(x)=\frac{1}{2x+1}$，则该函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是()

A. 单调递减无最小值　　　　　　　　　　　B. 单调递减有最小值

C. 单调递增无最大值　　　　　　　　　　　D. 单调递增有最大值

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f$ 在 $x=-\frac{1}{2}$ 处无定义，两侧分别递减。
2. $x\to -{\frac{1}{2}}^{-}$ 时 $f\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $f\to 0^{+}$，值域不闭合，无最小值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\frac{1}{2x+1}$ 在 $x=-\frac{1}{2}$ 处间断，在 $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)$ 与 $x\in \left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上分别单调递减． 当 $x\to -{\frac{1}{2}}^{-}$ 时 $f(x)\to -\infty$；当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to 0^{+}$，值域为 $(-\infty ,-\frac{1}{2}$ 两侧不闭合$)$，故无最小值． 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数的单调性

核心方法：$f(x)=\frac{1}{2x+1}$ 在 $x=-\frac{1}{2}$ 处间断，各段单调递减且值域不闭合

避坑指南：分式函数在间断点两侧分别讨论；$x\to -{\frac{1}{2}}^{-}$ 时 $f\to -\infty$，故无最小值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数单调性与最值是函数性质章基础题

结论推广：$\frac{1}{ax+b}$ 型在间断点两侧分别递减且无最值

方法推广：借助值域分析替代求导，快而准

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-09 单-导数
• 2010-大纲Ⅰ文-11 单-切线数量积最值