2004-湖南文-07 单-函数单调性求参

本题导读

本题考查二次函数与反比例型函数的单调性，以及参数范围的求解。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 若 $f(x)=-x^2+2ax$ 与 $g(x)=\frac{a}{x+1}$ 在区间 $[1,2]$ 上都是减函数，则 $a$ 的值范围是()

A. $(-1,0)\cup (0,1)$　　　B. $(-1,0)\cup (0,1]$　　　C. $(0,1)$　　　D. $(0,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=-x^2+2ax$ 开口向下，在 $[1,2]$ 减 $⟺$ 对称轴 $x=a⩽1$。
2. $g(x)=\frac{a}{x+1}$ 在 $[1,2]$ 减 $⟺a>0$（反比例型）。
3. 故 $0<a⩽1$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

对 $f(x)=-x^2+2ax$，其图象开口向下，对称轴为 $x=a$，要在 $[1,2]$ 上单调递减，需 $a⩽1$.对 $g(x)=\frac{a}{x+1}$，$x+1>0$ 且在 $[1,2]$ 上递增，要 $g$ 递减需 $a>0$.两者同时成立，得 $0<a⩽1$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数单调性求参
2. 核心方法：$f(x)=-x^2+2ax$ 在 $[1,2]$ 减 $⟺$ 对称轴 $a⩽1$；$g(x)=\frac{a}{x+1}$ 在 $[1,2]$ 减 $⟺a>0$；故 $0<a⩽1$
3. 避坑指南：二次函数开口向下，减区间在对称轴右侧；反比例型 $\frac{a}{x+1}$ 单调性由 $a$ 符号定，$a>0$ 递减

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于函数单调性求参，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：开口向下二次函数减区间在对称轴右侧；分别求 $f,g$ 的单调条件，取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2005-北京卷文-19 解-三次函数单调性与最值
• 2005-上海卷文-13 单-分式函数的单调性