2005-北京卷文-19 解-三次函数单调性与最值

本题导读

本题考查导数与函数的单调性、闭区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=-x^3+3x^2+9x+a$．

(1) 求 $f(x)$ 的单调减区间；

(2) 若 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为 $20$，求它在该区间上的最小值．

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)$，小于零的解集即减区间。
2. $[-2,2]$ 内 $f$ 在 $[-2,-1]$ 减、$[-1,2]$ 增，最大值在端点 $x=2$。
3. $f(2)=a+22=20$ 得 $a=-2$，最小值 $f(-1)=1+3-9-2=-7$。

✅【答案】

Success

(1) $(-\infty ,-1)$ 和 $(3,+\infty )$

(2) $-7$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)$．当 $x<-1$ 或 $x>3$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，所以 $f(x)$ 的单调减区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(3,+\infty )$． (2) 在 $[-2,2]$ 上，$f(x)$ 在 $[-2,-1]$ 上递减，在 $[-1,2]$ 上递增，因此最大值取在端点．又 $f(-2)=a+2$，$f(2)=a+22$，所以最大值为 $a+22=20$，得 $a=-2$．最小值取在 $x=-1$，为 $f(-1)=1+3-9-2=-7$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数单调性与最值

核心方法：导数定单调区间，端点与驻点比最值

避坑指南：$f^{\prime }(x)=-3(x-3)(x+1)$，减区间 $(-\infty ,-1)$ 和 $(3,+\infty )$；$[-2,2]$ 上最大值 $f(2)=a+22=20$ 得 $a=-2$，最小值 $f(-1)=-7$；先比较 $f(-2),f(2)$ 别默认

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数应用：单调性与最值（人教 A 版选择性必修二）

结论推广：三次函数的导数是二次函数，单调区间由 $f^{\prime }(x)$ 符号确定；闭区间最值比较端点与驻点

方法推广：含参最值：先定驻点，再比较区间端点值，由最值条件解出参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-16 解-导数图象与极值定参
• 2008-北京文-17 解-奇函数定参与三次函数单调