2004-重庆文-17 解-三角最值周期与单调

本题导读

本题考查三角恒等变换与三角函数的周期、最值、单调区间。核心在于降次并用辅助角公式化成正弦型函数。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 求函数 $y={\sin }^{4}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{4}x$ 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 $[0,\pi ]$ 上的单调递增区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$，$2\sin x\cos x=\sin 2x$。
2. $y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin (2x-\frac{\pi }{6})$。
3. 周期 $\pi$，最小值 $-2$；由 $y^{\prime }=4\cos (2x-\frac{\pi }{6})>0$ 得增区间 $[0,\frac{\pi }{3}]$、$[\frac{5\pi }{6},\pi ]$。

✅【答案】

Success

最小正周期 $\pi$，最小值 $-2$；单调递增区间 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 和 $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$，以及 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，得 $y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$.故函数的最小正周期为 $\pi$，最小值为 $-2$.求导得 $y^{\prime }=2\sqrt{3}\cos 2x+2\sin 2x=4\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$.在 $[0,\pi ]$ 上，$y^{\prime }>0$ 的范围为 $0<x<\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{5\pi }{6}<x<\pi$，故函数在 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 和 $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$ 上单调递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角最值周期与单调
2. 核心方法：${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=-\cos 2x$，$2\sin x\cos x=\sin 2x$，故 $y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin (2x-\frac{\pi }{6})$；周期 $\pi$，最小值 $-2$；增区间 $[0,\frac{\pi }{3}]$、$[\frac{5\pi }{6},\pi ]$
3. 避坑指南：${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$；用导数或辅助角定增区间，$2x-\frac{\pi }{6}\in [-\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6}]$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数最值周期，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=-\cos 2x$，辅助角化为 $A\sin (\omega x+\phi )$；降次化一次，辅助角合并，求周期最值与单调区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-18 解-四次齐次三角最值周期
• 2004-全国卷II文-11 单-四次齐次三角周期
• 2004-湖北文-17 解-三角恒等求值