2004-福建理-08 单-平面向量的数量积性质

本题导读

本题考查平面向量的数量积性质，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 已知 $\vec{\mathbf{a}}$、 $\vec{\mathbf{b}}$ 是非零向量且满足 $(\vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}})\perp \vec{\mathbf{a}}$， $(\vec{\mathbf{b}}-2\vec{\mathbf{a}})\perp \vec{\mathbf{b}}$，则 $\vec{\mathbf{a}}$ 与 $\vec{\mathbf{b}}$ 的夹角是 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. 转化垂直条件为数量积方程：
   • 根据向量垂直的充要条件，两向量垂直等价于它们的数量积严格为 0。
   • 由 $(\vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}})\perp \vec{\mathbf{a}}⟹(\vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}})\cdot \vec{\mathbf{a}}=0⟹|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=0$。
   • 同理，由 $(\vec{\mathbf{b}}-2\vec{\mathbf{a}})\perp \vec{\mathbf{b}}⟹(\vec{\mathbf{b}}-2\vec{\mathbf{a}})\cdot \vec{\mathbf{b}}=0⟹|\vec{\mathbf{b}}{|}^2-2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=0$。
2. 推导模长对称性与夹角余弦值：
   • 观察上述两个方程，发现它们均包含公共项 $2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}$，通过等量代换可直接推导出两向量模长相等，即 $|\vec{\mathbf{a}}|=|\vec{\mathbf{b}}|$。
   • 将该模长相等关系重新代回任意一个方程中，利用定义式 $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}||\vec{\mathbf{b}}|\cos \theta$ 展开，消除模长参数后即可算出 $\cos \theta$ 的值，从而确定夹角。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由垂直条件建立数量积方程组 根据平面向量垂直的充要条件，非零向量的内积必为 0：

1. 因为 $(\vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}})\perp \vec{\mathbf{a}}$，所以： $(\vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}})\cdot \vec{\mathbf{a}}=0⟹\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{a}}=0$ 代入向量自身数量积等于模长平方的性质 $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{a}}=|\vec{\mathbf{a}}{|}^2$，且数量积满足交换律 $\vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{a}}=\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}$： $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=0⟹2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}{|}^2\text{（式1）}$
2. 同理，因为 $(\vec{\mathbf{b}}-2\vec{\mathbf{a}})\perp \vec{\mathbf{b}}$，所以： $(\vec{\mathbf{b}}-2\vec{\mathbf{a}})\cdot \vec{\mathbf{b}}=0⟹\vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{b}}-2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=0$ $|\vec{\mathbf{b}}{|}^2-2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=0⟹2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{b}}{|}^2\text{（式2）}$

第二步：推导模长关系与夹角计算 观察（式1）与（式2）的左端项完全相同，根据传递性可得： $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2=|\vec{\mathbf{b}}{|}^2$ 因为向量模长恒为非负数，两边开平方得两向量的模长完全相等： $|\vec{\mathbf{a}}|=|\vec{\mathbf{b}}|$

设 $\vec{\mathbf{a}}$ 与 $\vec{\mathbf{b}}$ 的夹角为 $\theta$（其中 $\theta \in [0,\pi ]$），根据平面向量数量积的定义式： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}|\cdot |\vec{\mathbf{b}}|\cdot \cos \theta$ 将 $|\vec{\mathbf{b}}|=|\vec{\mathbf{a}}|$ 代入其中，将数量积完全齐次化为由模长 $|\vec{\mathbf{a}}|$ 表达的结构： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}{|}^2\cos \theta \text{（式3）}$

将（式3）的代数式重新代回（式1）的方程中： $2|\vec{\mathbf{a}}{|}^2\cos \theta =|\vec{\mathbf{a}}{|}^2$ 因为 $\vec{\mathbf{a}}$ 是非零向量，所以其模长平方 $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2\ne 0$，方程两边同时除以 $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2$ 进行消项： $2\cos \theta =1⟹\cos \theta =\frac{1}{2}$

由于向量夹角的定义域被严格限制在区间 $[0,\pi ]$ 内，在该闭区间内满足余弦值为 $\frac{1}{2}$ 的特殊角唯一存在： $\theta =\frac{\pi }{3}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直等价于内积为零的度量映射；数量积满足的分配律与交换律基本功；数量积定义式 $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}||\vec{\mathbf{b}}|\cos \theta$ 中特征量相互代换的齐次消元法。
2. 核心方法：代数方程消元法、对称结构等量代换法。
3. 避坑指南：
   • 将垂直条件的公式展开时弄错系数：部分学生在展开 $(\vec{\mathbf{a}}-2\vec{\mathbf{b}})\cdot \vec{\mathbf{a}}$ 时，容易受完全平方公式的思维定势干扰，错算成 $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-4\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}+4|\vec{\mathbf{b}}{|}^2$，这是对多项式点积分配律理解不透彻导致的。请牢记单项式乘以多项式的分配规则，无需引入第三方平方项。
   • 错把夹角算成 $\frac{\pi }{6}$ 或者是负值：熟记特殊角三角函数值， $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，而 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，防止因记忆混淆导致功亏一篑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查平面向量度量性质（内积空间正交投影特征）的标准大纲经典选择题，属于低难度基础技巧题。
2. 结论推广: 向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影长为 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$。条件 $2\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}{|}^2$ 即表示该投影长等于 $\frac{|\vec{a}|}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值