2004-湖南理-13 填-平面向量的坐标运算与模长公式

本题导读

本题考查向量数量积的代数表示，以及三角函数的有界性。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 已知向量 $\vec{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，向量 $\vec{b}=(\sqrt{3},-1)$，则 $|2\vec{a}-\vec{b}|$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：首先利用坐标运算写出向量 $2\vec{a}-\vec{b}$ 的分量表示： $2\vec{a}-\vec{b}=(2\cos \theta -\sqrt{3},2\sin \theta +1)$。
2. 第二步逻辑：利用向量模长公式将其转化为关于 $\theta$ 的代数式。为简化计算，优先求解模长的平方 $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2$。
3. 第三步逻辑：展开完全平方式，利用同角三角函数恒等式 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消去高次项。
4. 第四步逻辑：运用辅助角公式（两角和与差的三角公式）将剩余项合并为单一的三角函数形式，利用余弦函数的有界性确定最大值，最后开方求出模长的最大值。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

• 写出线性组合向量的坐标表示： 已知 $\vec{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )$， $\vec{b}=(\sqrt{3},-1)$。 则向量 $2\vec{a}-\vec{b}$ 的坐标运算为： $2\vec{a}-\vec{b}=2(\cos \theta ,\sin \theta )-(\sqrt{3},-1)=(2\cos \theta -\sqrt{3},2\sin \theta +1)\text{（式1）}$

• 计算模长的平方并进行三角化简： 根据平面向量模长公式，由（式1）计算 $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2$： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(2\cos \theta -\sqrt{3}{)}^2+(2\sin \theta +1{)}^2$ 将两个完全平方式分别展开： $(2\cos \theta -\sqrt{3}{)}^2=4{\cos }^2\theta -4\sqrt{3}\cos \theta +3$ $(2\sin \theta +1{)}^2=4{\sin }^2\theta +4\sin \theta +1$ 将上述两部分合并相加： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )-4\sqrt{3}\cos \theta +4\sin \theta +3+1$ 代入同角三角函数基本恒等式 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4\times 1-4\sqrt{3}\cos \theta +4\sin \theta +4=8+4(\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta )\text{（式2）}$

• 引入辅助角公式求最值： 对（式2）括号内部的代数式应用辅助角公式进行逆向合一变换： $\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =2\left(\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ 将此项代回（式2）中，得到关于 $\theta$ 的一元三角函数式： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=8+4\times 2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=8+8\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)\text{（式3）}$

  因为正弦函数在实数内具有明确的有界性： $-1\le \sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ 当且仅当 $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，（式3）取得全局最大值： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}_{\text{max}}^2=8+8\times 1=16$ 对两边同时开算术平方根，求得模长的最大值为： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}_{\text{max}}=\sqrt{16}=4$

填空题最终答案为： 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量坐标基底运算；完全平方公式展开与弦平方消元；辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\varphi )$ 的应用。
2. 核心方法：坐标代数化简法。
3. 避坑指南：
   • 在求出模长平方的最大值 16 后，切勿漏掉最后一步的“开平方”运算导致错填 16。
   • 本题亦可采用几何法秒杀：由 $\vec{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 知 $2\vec{a}$ 是一个终点在以原点为圆心、半径为 2 的圆上的动向量；而 $\vec{b}=(\sqrt{3},-1)$ 的模长为 $|\vec{b}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$，是一个定向量。根据三角形恒等性质原理，两向量差的模长最大值即为圆的半径与定向量模长的代数和： $|2\vec{a}|+|\vec{b}|=2+2=4$。这一几何视域可免去所有三角函数展开化简过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材平面向量章节关于“向量基本代数运算与数量积性质”的课后拓展思考题。
2. 结论推广: 由三角不等式 $|\vec{a}-\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$，当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线时取等号。故若 $|\vec{x}|=1$，则 $|\alpha \vec{x}-\vec{y}|\le \alpha +|\vec{y}|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形