2004-湖南文-21 解-曲线交点与面积

本题导读

本题考查两曲线交点与面积的表示。核心在于联立求交点，用鞋带（叉积）公式表示面积，再求导讨论单调性并求最值。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 如图，已知曲线 $C_1:y=x^3$（$x⩾0$）与曲线 $C_2:y=-2x^3+3x$（$x⩾0$）交于 $O$、$A$，直线 $x=t$（$0<t<1$）与曲线 $C_1$、$C_2$ 分别交于 $B$、$D$.

(1) 写出四边形 $ABOD$ 的面积 $S$ 与 $t$ 的函数关系式 $S=f(t)$；

(2) 讨论 $f(t)$ 的单调性，并求 $f(t)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立 $x^3=-2x^3+3x$ 得 $x=0$ 或 $x=1$，$O(0,0),A(1,1)$；$B(t,t^3),D(t,3t-2t^3)$。
2. 鞋带公式 $S=\frac{3}{2}(t-t^3)$。
3. $f^{\prime }(t)=\frac{3}{2}(1-3t^2)$，$t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时最大，最大值 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。

✅【答案】

Success

(1) $S=f(t)=\frac{3}{2}(t-t^3)$

(2) $f(t)$ 在 $\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 递增、$\left(\frac{1}{\sqrt{3}},1\right)$ 递减，最大值 $\frac{1}{\sqrt{3}}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^3=-2x^3+3x$ 得 $3x(x^2-1)=0$，在 $x⩾0$ 下交点 $O=(0,0)$，$A=(1,1)$.直线 $x=t$ 与两曲线交点分别为 $B=(t,t^3)$，$D=(t,3t-2t^3)$. （1）按 $A,B,O,D$ 的顺序用鞋带公式，$2S=\left|1\cdot t^3+t\cdot 0+0\cdot (3t-2t^3)+t\cdot 1-1\cdot t-t^3\cdot 0-0\cdot t-(3t-2t^3)\cdot 1\right|=|3t-3t^3|$，因 $0<t<1$，得 $S=f(t)=\frac{3}{2}(t-t^3)$. （2）$f^{\prime }(t)=\frac{3}{2}(1-3t^2)$.当 $0<t<\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时 $f^{\prime }(t)>0$，$f$ 递增；当 $\frac{1}{\sqrt{3}}<t<1$ 时 $f^{\prime }(t)<0$，$f$ 递减。故 $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时 $f$ 取得最大值 $f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：曲线交点与面积
2. 核心方法：$x^3=-2x^3+3x$ 得 $x=0$ 或 $x=1$，$O(0,0),A(1,1)$；$B(t,t^3),D(t,3t-2t^3)$；（1）鞋带公式 $S=\frac{3}{2}(t-t^3)$；（2）$S^{\prime }=\frac{3}{2}(1-3t^2)$，$t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 最大，最大值 $\frac{1}{\sqrt{3}}$
3. 避坑指南：交点由联立解；四边形面积用鞋带（叉积）公式；求导定驻点，$0<t<1$ 内唯一极大即最大

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于曲线交点与面积，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：两曲线交点联立解；四边形面积用鞋带公式；联立求交点，叉积求面积，求导定最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.08 一般曲线与方程
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-20 解-抛物线面积最值
• 2005-北京春文-18 解-抛物线截线垂直
• 2004-福建文-21 解-抛物线弦中点轨迹