2004-湖南文-18 解-线面垂直与二面角

本题导读

本题考查线面垂直的证明、线面平行的证明与二面角的求解。核心在于用勾股逆定理证垂直，用中位线证平行，再作辅助线找二面角平面角。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 如图，在底面是菱形的四棱锥 $P-ABCD$ 中，$\angle ABC=60^{\circ }$，$PA=AC=a$，$PB=PD=\sqrt{2}a$，点 $E$ 是 $PD$ 的中点.

(1) 证明：$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PB\parallel$ 平面 $EAC$；

(2) 求以 $AC$ 为棱，$EAC$ 与 $DAC$ 为面的二面角 $\theta$ 的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 菱形 $\angle ABC=60^{\circ }$ 得 $AB=AD=AC=a$；$P{A}^2+A{B}^2=2a^2=P{B}^2$ 证 $PA\perp AB$，同理 $PA\perp AD$，故 $PA\perp$ 平面 $ABCD$。
2. $O$ 为 $BD$ 中点，$OE\parallel PB$（中位线），故 $PB\parallel$ 平面 $EAC$。
3. 作 $EG\parallel PA$、$GH\perp AC$，$\tan \theta =\frac{EG}{GH}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/4}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\tan \theta =\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由菱形性质及 $\angle ABC=60^{\circ }$，$△ABC$ 与 $△ADC$ 均为边长为 $a$ 的等边三角形，故 $AB=AD=AC=a$. （1）在 $△PAB$ 中，$P{A}^2+A{B}^2=a^2+a^2=2a^2=P{B}^2$，故 $PA\perp AB$；同理 $PA\perp AD$，而 $AB$、$AD$ 是平面 $ABCD$ 内相交直线，故 $PA\perp$ 平面 $ABCD$.设 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$，则 $O$ 为 $BD$ 中点；又 $E$ 是 $PD$ 中点，故 $OE$ 是 $△PBD$ 的中位线，$OE\parallel PB$，而 $OE\subset$ 平面 $EAC$，所以 $PB\parallel$ 平面 $EAC$. （2）过 $E$ 作 $EG\parallel PA$ 交 $AD$ 于 $G$，则 $EG\perp$ 平面 $ABCD$，且 $G$ 为 $AD$ 中点，$EG=\frac{a}{2}$；作 $GH\perp AC$ 于 $H$，则 $GH=AG\sin 60^{\circ }=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}$.由三垂线定理 $EH\perp AC$，故 $\angle EHG$ 为二面角 $EAC-DAC$ 的平面角，$\tan \theta =\frac{EG}{GH}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/4}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直与二面角
2. 核心方法：菱形 $\angle ABC=60^{\circ }$ 得 $AB=AD=AC=a$；（1）$P{A}^2+A{B}^2=P{B}^2$ 证 $PA\perp AB$，同理 $PA\perp AD$，故 $PA\perp$ 平面 $ABCD$；$E$ 是 $PD$ 中点，$OE\parallel PB$（$O$ 为 $BD$ 中点）证 $PB\parallel$ 平面 $EAC$；（2）作 $EG\parallel PA$、$GH\perp AC$，$\tan \theta =\frac{EG}{GH}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/4}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：菱形 $60^{\circ }$ 使两三角形为等边；证线面平行用中位线 $OE\parallel PB$；二面角找平面角，$\tan \theta$ 用对边比邻边

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于线面垂直与二面角，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：勾股逆定理证垂直；中位线证线面平行；证垂直用勾股，证平行用中位线，二面角找平面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-18 解-线面垂直与二面角
• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角
• 2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角