2004-湖北文-17 解-三角恒等求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系与和角公式。核心在于齐次式同除 ${\cos }^2\alpha$ 求 $\tan \alpha$，再由象限定 $\sin$、$\cos$ 符号，套用和角公式。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知 $6{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -2{\cos }^2\alpha =0$，$\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，求 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同除 ${\cos }^2\alpha$：$6{\tan }^2\alpha +\tan \alpha -2=0$，得 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{2}{3}$。
2. $\alpha \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 时 $\tan \alpha ⩽0$，取 $\tan \alpha =-\frac{2}{3}$。
3. $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$，$\cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{13}}$，$\sin 2\alpha =-\frac{12}{13}$，$\cos 2\alpha =\frac{5}{13}$，代入和角公式得 $\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$。

✅【答案】

Success

$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，原方程左边为 $6$，不成立，故 $\cos \alpha \ne 0$.原方程两边同除以 ${\cos }^2\alpha$，得 $6{\tan }^2\alpha +\tan \alpha -2=0$，即 $(2\tan \alpha -1)(3\tan \alpha +2)=0$，故 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 或 $\tan \alpha =-\frac{2}{3}$.因为 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，所以 $\tan \alpha ⩽0$，从而 $\tan \alpha =-\frac{2}{3}$.又 $\sin \alpha ⩾0$，$\cos \alpha ⩽0$，故 $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$，$\cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{13}}$.于是 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{12}{13}$，$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\frac{5}{13}$，所以 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{3}=\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \frac{1}{2}+\frac{5}{13}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等求值
2. 核心方法：同除 ${\cos }^2\alpha$：$6{\tan }^2\alpha +\tan \alpha -2=0$，$(2\tan \alpha -1)(3\tan \alpha +2)=0$；$\alpha \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 故 $\tan \alpha =-\frac{2}{3}$，$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$，$\cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{13}}$；$\sin 2\alpha =-\frac{12}{13}$，$\cos 2\alpha =\frac{5}{13}$，$\sin (2\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$
3. 避坑指南：$\alpha \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 时 $\tan \alpha ⩽0$，舍去 $\frac{1}{2}$；用 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 注意第二象限 $\sin >0,\cos <0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于同角三角关系与和角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：齐次式同除 ${\cos }^2\alpha$ 化 $\tan$ 方程，再求 $\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha$；齐次化求 $\tan$，由象限定 $\sin ,\cos$ 符号，套和角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷文-17 解-三角恒等变换求值
• 2006-福建文-17 解-三角恒等变换与平移
• 2007-湖北文-10 单-三角恒等变换求值