2006-福建文-17 解-三角恒等变换与平移

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于降幂聚合与图象平移。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x$，$x\in \mathbf{R}$。

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2) 函数 $f(x)$ 的图象可以由函数 $y=\sin 2x$（$x\in \mathbf{R}$）的图象经过怎样的变换得到？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂：${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，$2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，$\sqrt{3}\sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。
2. 合并：$f(x)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{3}{2}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。
3. (1) $T=\pi$；增区间由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 解出。
4. (2) 相位 $+\frac{\pi }{6}=2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)$ 对应左移 $\frac{\pi }{12}$；常数 $\frac{3}{2}$ 对应上移 $\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

(1) $T=\pi$，单调增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）

(2) 向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，再向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+1+\cos 2x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x$ $=\frac{3}{2}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$，得 $-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{\pi }{3}+2k\pi$， 即 $-\frac{\pi }{3}+k\pi ⩽x⩽\frac{\pi }{6}+k\pi$。 所以 $f(x)$ 的单调增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）。 (2) 将 $y=\sin 2x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象， 再把所得图象上所有的点向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，即得 $f(x)=\frac{3}{2}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。 ★【裁定】答案册 (1) 印”增区间 $(k\pi -\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{\pi }{3})$“端点互换（验证：$x=\frac{\pi }{4}$ 在该区间内但 $f^{\prime }(x)=2\cos (2x+\frac{\pi }{6})$ 在此为负）； (2) 印”向右平移 $\frac{\pi }{12}$、向上平移 $\frac{1}{2}$“方向与量均错。多源官方详解（百度文库/豆丁官方版） 均为左移 $\frac{\pi }{12}$、上移 $\frac{3}{2}$，与复算一致，按此录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与平移

核心方法：降幂聚合成 sin(2x+π/6)

避坑指南：$f=\frac{3}{2}+\sin (2x+\frac{\pi }{6})$，$T=\pi$；增区间 $2x+\frac{\pi }{6}\in [-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$，即 $[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}]$；平移是左移 $\frac{\pi }{12}$ 再上移 $\frac{3}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角恒等变换与图象变换，标准大题

结论推广: 降幂合成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 推广到一切三角化简

方法推广: 平移方向看 $\phi$ 的符号：左加右减

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-16 解-三角恒等变换与最值
• 2008-福建文-07 单-三角图象平移