2004-湖北文-10 单-对数不等式判断

本题导读

本题考查对数的运算与性质，以及利用对数不等式判定结论。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 若 $1<\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$，则下列结论中不正确的是()

A. ${\log }_{a}b>{\log }_{b}a$　　B. $\left|{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\right|>2$　　C. ${\left({\log }_{b}a\right)}^2<1$　　D. $\left|{\log }_{a}b\right|+\left|{\log }_{b}a\right|>\left|{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\right|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $1<\frac{1}{a}$ 得 $0<a<1$，由 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 得 $b<a$，故 $0<b<a<1$。
2. 令 $u={\log }_{a}b>1$，则 ${\log }_{b}a=\frac{1}{u}\in (0,1)$。
3. A、B、C 均成立；D 中左式 $=u+\frac{1}{u}=$ 右式，不成立，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $1<\frac{1}{a}$ 得 $0<a<1$；由 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 得 $b<a$，所以 $0<b<a<1$.令 $u={\log }_{a}b$，因 $\ln b<\ln a<0$，故 $u=\frac{\ln b}{\ln a}>1$，且 ${\log }_{b}a=\frac{1}{u}\in (0,1)$.于是 $u>\frac{1}{u}$，A 成立；$u+\frac{1}{u}>2$，B 成立；${\left({\log }_{b}a\right)}^2=\frac{1}{u^2}<1$，C 成立。而 $\left|{\log }_{a}b\right|+\left|{\log }_{b}a\right|=u+\frac{1}{u}=\left|{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\right|$，D 不成立，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数不等式判断
2. 核心方法：由 $1<\frac{1}{a}$ 得 $0<a<1$，由 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 得 $b<a$，故 $0<b<a<1$；令 $u={\log }_{a}b>1$，${\log }_{b}a=\frac{1}{u}\in (0,1)$；$|{\log }_{a}b|+|{\log }_{b}a|=u+\frac{1}{u}=|{\log }_{a}b+{\log }_{b}a|$，D 不成立
3. 避坑指南：$0<b<a<1$ 时 ${\log }_{a}b>1$（真数小于底数小于 1）；D 中绝对值和不大于和，勿误判

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数运算与不等式，教材”对数函数”
2. 结论推广: 一般化：$0<b<a<1$ 时 ${\log }_{a}b>1$，${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$；化同底、换底公式，把结论统一到 $u={\log }_{a}b$ 判断

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-06 单-对数作商比较大小
• 2005-全国卷I文-08 单-对数复合不等式
• 2004-浙江文-09 单-对数函数值域