2004-浙江文-09 单-对数函数值域

本题导读

本题考查对数函数的单调性与值域。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 若函数 $f(x)={\log }_a(x+1)$（$a>0$，$a\ne 1$）的定义域和值域都是 $[0,1]$，则 $a=$()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 定义域被限定为 $[0,1]$。
2. $a>1$ 时 $f$ 递增，值域 $[f(0),f(1)]=[0,{\log }_{a}2]$，令 ${\log }_{a}2=1$ 得 $a=2$。
3. $0<a<1$ 时 $f(1)={\log }_{a}2<0$ 不可能，故 $a=2$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域被题设限定为 $[0,1]$.当 $a>1$ 时，$f(x)={\log }_a(x+1)$ 在 $[0,1]$ 上递增，所以值域为 $[f(0),f(1)]=[0,{\log }_{a}2]$，要使值域为 $[0,1]$，必须有 ${\log }_{a}2=1$，从而 $a=2$.当 $0<a<1$ 时，$f(1)={\log }_{a}2<0$，不可能得到值域 $[0,1]$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数值域
2. 核心方法：$a>1$ 时 $f$ 在 $[0,1]$ 递增，值域 $[0,{\log }_{a}2]$，令 ${\log }_{a}2=1$ 得 $a=2$；$0<a<1$ 时 $f(1)={\log }_{a}2<0$ 不可能，故 $a=2$
3. 避坑指南：按 $a$ 与 $1$ 的大小讨论单调性；$0<a<1$ 时值域含负数直接排除

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数函数的单调性与值域，教材”基本初等函数”
2. 结论推广: 一般化：$y={\log }_{a}x$ 在 $a>1$ 时递增、$0<a<1$ 时递减；按底数与 $1$ 的大小讨论单调性，由端点值定参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-03 单-对数函数值域
• 2004-天津文-06 单-对数函数最值定参
• 2007-大纲Ⅰ文-08 单-对数函数最值与对数方程