2004-天津文-06 单-对数函数最值定参

本题导读

本题考查对数函数的单调性与最值，以及参数的求解。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)）若函数 $f (x) = lo g_{a} x$ （ $0 < a < 1$ ）在区间 $[a, 2 a]$ 上的最大值是最小值的 $3$ 倍，则 $a =$ ()

A. $\frac{2}{4}$ 　　　　　　　B. $\frac{2}{2}$ 　　　　　　　C. $\frac{1}{4}$ 　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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$0 < a < 1$ ， $lo g_{a} x$ 递减，最大 $lo g_{a} a = 1$ 。

最小 $lo g_{a} (2 a)$ ， $1 = 3 lo g_{a} (2 a)$ 。

$lo g_{a} (2 a) = \frac{1}{3}$ ， $2 a = a^{1/3}$ ， $a = \frac{2}{4}$ 。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因 $0 < a < 1$ ， $f (x) = lo g_{a} x$ 在 $[a, 2 a]$ 上单调递减，故最大值为 $lo g_{a} a = 1$ ，最小值为 $lo g_{a} (2 a)$ .由题意 $1 = 3 lo g_{a} (2 a)$ ，得 $lo g_{a} (2 a) = \frac{1}{3}$ ，即 $2 a = a^{1/3}$ .因 $a > 0$ ，得 $a^{2/3} = \frac{1}{2}$ ，故 $a = (\frac{1}{2})^{3/2} = \frac{2}{4}$ ，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数最值定参

核心方法： $0 < a < 1$ 时 $lo g_{a} x$ 递减， $[a, 2 a]$ 上最大 $lo g_{a} a = 1$ 、最小 $lo g_{a} (2 a)$ ； $1 = 3 lo g_{a} (2 a)$ ， $lo g_{a} (2 a) = \frac{1}{3}$ ， $2 a = a^{1/3}$ ， $a = \frac{2}{4}$

避坑指南：底 $0 < a < 1$ 对数递减，最大值在左端点 $x = a$ 处为 $1$ ；由 $1 = 3 lo g_{a} (2 a)$ 得 $2 a = a^{1/3}$ ，即 $a^{2/3} = \frac{1}{2}$ ， $a = (\frac{1}{2})^{3/2} = \frac{2}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于对数函数的单调性，教材”对数函数”

结论推广: 一般化： $0 < a < 1$ 时 $lo g_{a} x$ 递减，区间最值在端点；先判单调性定最值位置，再解方程定 $a$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

2007-大纲Ⅰ文-08 单-对数函数最值与对数方程

2007-广东文-12 填-对数函数单调区间

2006-重庆文-15 填-对数函数单调解不等式

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2004-天津文-06 单-对数函数最值定参

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