2005-全国卷I文-08 单-对数复合不等式

本题导读

本题考查对数型复合函数，以及含参数不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 设 $0<a<1$，函数 $f(x)={\log }_a(a^{2x}-2a^x-2)$，则使 $f(x)<0$ 的 $x$ 取值范围是()

A. $(-\infty ,0)$　　　　B. $(0,+\infty )$　　　　C. $(-\infty ,{\log }_{a}3)$　　　　D. $({\log }_{a}3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $0<a<1$ 时 ${\log }_{a}y<0⟺y>1$，故需 $a^{2x}-2a^x-2>1$。
2. 令 $t=a^x$（$0<a<1$ 时 $t\in (0,+\infty )$）：$t^2-2t-3>0$，即 $(t-3)(t+1)>0$，得 $t>3$。
3. $a^x>3$ 且 $0<a<1$：两边取以 $a$ 为底的对数，不等号反向，$x<{\log }_{a}3$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因 $0<a<1$，${\log }_{a}y$ 单调递减，故 $f(x)<0⟺a^{2x}-2a^x-2>1$， 即 $a^{2x}-2a^x-3>0$． 令 $t=a^x$（$t>0$），则 $t^2-2t-3>0$，$(t-3)(t+1)>0$，解得 $t>3$（$t<-1$ 舍去）． 由 $a^x>3$，$0<a<1$，两边取以 $a$ 为底的对数得 $x<{\log }_{a}3$（底小于 $1$，不等号反向）． 【注】原卷选项 A 误印为"$f(x)$"，此处按答案册订正为 $(-\infty ,0)$，不影响正确答案的判定． 故所求范围为 $(-\infty ,{\log }_{a}3)$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数复合不等式

核心方法：$f(x)<0⟺$ 真数 $>1$（$0<a<1$），令 $t=a^x\in (0,1)$，$t^2-2t-2>1$ 即 $(t-3)(t+1)>0$，得 $t>3$，故 $x<{\log }_{a}3$

避坑指南：$0<a<1$ 时 ${\log }_{a}y<0⟺y>1$（方向别反）；解出 $t=a^x>3$ 后回到 $x$ 要再翻一次方向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数函数与二次不等式的复合，教材”函数的应用”中换元法解不等式

结论推广：一般化：${\log }_{a}g(x)<b$（$0<a<1$）$⟺g(x)>a^b$；含 $a^{2x}$ 的式子设 $t=a^x$ 后注意 $t$ 的范围

方法推广：对数不等式先保定义域，再化同底比较真数；复合结构用换元，换元必查新元范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-13 填-分式不等式
• 2008-江西文-04 单-指对数单调性比较
• 2008-安徽文-13 填-根式对数定义域
• 2007-大纲Ⅰ文-08 单-对数函数最值与对数方程