2005-重庆卷文-05 单-对数与绝对值不等式组

本题导读

本题考查绝对值不等式与对数不等式组成的不等式组的解法。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 不等式组 $\{\begin{array}{l}|x-2|<2,\\ {\log }_2(x^2-1)>1\end{array}$ 的解集为()

A. $(0,\sqrt{3})$　　　　　B. $(\sqrt{3},2)$　　　　　C. $(\sqrt{3},4)$　　　　　D. $(2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|x-2|<2\Rightarrow 0<x<4$。
2. ${\log }_2(x^2-1)>1\Rightarrow x^2>3$，且 $x^2-1>0$。
3. 取交集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-2|<2$ 得 $0<x<4$．由 ${\log }_2(x^2-1)>1$ 得 $x^2-1>2$，即 $x^2>3$；又真数须为正，$x^2-1>0$ 自动满足（$x^2>3$ 更强）．故 $x>\sqrt{3}$ 或 $x<-\sqrt{3}$．与 $0<x<4$ 取交集得 $(\sqrt{3},4)$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与绝对值不等式组

核心方法：$|x-2|<2\Rightarrow 0<x<4$；${\log }_2(x^2-1)>1\Rightarrow x^2>3\Rightarrow x>\sqrt{3}$（负支舍）

避坑指南：真数 $x^2-1>0$ 给 $x>1$ 或 $x<-1$；与 $0<x<4$ 交后再与 $x>\sqrt{3}$ 交——负根 $x<-1$ 与 $0<x<4$ 交空舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 不等式解法

结论推广：$0<x<4$ 与 $x>\sqrt{3}$ 交得 $(\sqrt{3},4)$

方法推广：对数不等式先保真数为正；绝对值不等式开区间——三条件逐层取交

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-08 单-对数复合不等式
• 2006-江苏卷-16 填-对数不等式解集
• 2006-重庆文-15 填-对数函数单调解不等式