2004-湖北文-07 单-向量充要条件

本题导读

本题考查向量数量积与充要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 为非零的平面向量，甲：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$，乙：$\vec{b}=\vec{c}$，则()

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 甲 $⟺\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$，即 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$，未必 $\vec{b}=\vec{c}$。
2. 乙 $\vec{b}=\vec{c}$ 必推甲。
3. 故甲是乙的必要不充分条件，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由甲得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$，即 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$，只说明 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 垂直，不一定有 $\vec{b}=\vec{c}$.例如取 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$，$\vec{c}=(0,2)$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}=0$，但 $\vec{b}\ne \vec{c}$，故甲不是乙的充分条件。反之，若乙成立，即 $\vec{b}=\vec{c}$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 成立，故甲是乙的必要条件。因此甲是乙的必要而不充分条件，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量充要条件
2. 核心方法：甲 $a\cdot b=a\cdot c⟺a\cdot (b-c)=0$；乙 $b=c$ 必推甲，但甲不推乙（如 $a=(1,0),b=(0,1),c=(0,2)$，$a\cdot b=a\cdot c=0$ 而 $b\ne c$）；必要非充分
3. 避坑指南：数量积为零只说明 $a\perp (b-c)$，不说明 $b=c$；举反例时让 $a$ 与 $b-c$ 垂直即可

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量数量积与充要条件，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$a\cdot b=a\cdot c⟺a\cdot (b-c)=0$，即 $a\perp (b-c)$；由数量积为零推垂直关系，举反例否定充分性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-03 单-数量积与充要条件
• 2005-湖北卷文-02 单-充要条件命题判定
• 2004-浙江文-08 单-充要条件判定