2006-北京文-03 单-数量积与充要条件

本题导读

本题考查充分必要条件，以及向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 都是非零向量，则"$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$"是"$\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot \vec{c}=0⟺\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$。
2. 由非零向量垂直的定义：$\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0⟺\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$。
3. 两条件互相推出，是充要条件。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由数量积的分配律： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}⟺\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$． 又 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 都是非零向量，由垂直的充要条件 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0⟺\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$． 故两条件互相推出，是充分必要条件． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积与充要条件

核心方法：数量积分配律变形，充要条件等价转化

避坑指南：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}⟺\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0⟺\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$，两条件互相推出，是充要条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 充要条件与向量数量积结合，概念综合题

结论推广: $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$ 与 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$ 互为充要，与 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 等价

方法推广: 充分必要的判定化为命题等价性，向量的数量积分配律是桥梁

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-03 单-充要条件与双曲线准线
• 2009-北京文-06 单-充要条件判定
• 2008-新课标Ⅰ文-09 单-向量共线充要