2004-浙江文-18 解-解三角形最值

本题导读

本题考查解三角形与三角求值。核心在于用半角公式与倍角公式求值，再用余弦定理配基本不等式求 $bc$ 的最大值。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $\cos A=\frac{1}{3}$.

(1) 求 ${\sin }^2\frac{B+C}{2}+\cos 2A$ 的值；

(2) 若 $a=\sqrt{3}$，求 $bc$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $B+C=\pi -A$，${\sin }^2\frac{B+C}{2}={\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}=\frac{2}{3}$。
2. $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=-\frac{7}{9}$，和为 $-\frac{1}{9}$。
3. $a^2=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc$，$3=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc⩾\frac{4}{3}bc$，$bc⩽\frac{9}{4}$。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{1}{9}$

(2) $bc$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $B+C=\pi -A$，所以 ${\sin }^2\frac{B+C}{2}={\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)={\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}=\frac{2}{3}$.又 $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$，故 ${\sin }^2\frac{B+C}{2}+\cos 2A=\frac{2}{3}-\frac{7}{9}=-\frac{1}{9}$. （2）由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc$.当 $a=\sqrt{3}$ 时，$3=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc⩾2bc-\frac{2}{3}bc=\frac{4}{3}bc$，所以 $bc⩽\frac{9}{4}$.当 $b=c=\frac{3}{2}$ 时等号成立，且满足题设三角形条件，因此 $bc$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形最值
2. 核心方法：（1）$B+C=\pi -A$，${\sin }^2\frac{B+C}{2}={\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}=\frac{2}{3}$，$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=-\frac{7}{9}$，和为 $-\frac{1}{9}$；（2）$a^2=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc$，$3=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc⩾\frac{4}{3}bc$，$bc⩽\frac{9}{4}$
3. 避坑指南：半角公式 ${\sin }^2\frac{B+C}{2}=\frac{1+\cos A}{2}$；余弦定理配基本不等式，取等 $b=c=\frac{3}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于余弦定理与基本不等式，教材”解三角形”
2. 结论推广: 一般化：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2+c^2⩾2bc$；余弦定理消元后配基本不等式求最值，检验取等条件

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-15 解-解三角形与三角求值
• 2005-天津卷文-20 解-解三角形视角最大
• 2006-全国卷II文-17 解-解三角形求边与中线