2004-北京卷文-15 解-解三角形与三角求值

本题导读

本题考查解三角形与三角求值。核心在于把 $\sin A+\cos A$ 化辅助角定出角 $A$，再求面积。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\sin A+\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=2$，$AB=3$，求 $\tan A$ 的值和 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 由 $A\in (0,\pi )$ 定 $A=\frac{7\pi }{12}$。
3. 求 $\tan A$ 与面积 $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$。

✅【答案】

Success

$\tan A=-(2+\sqrt{3})$，面积 $\frac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $A$ 为三角形内角，$0<A<\pi$.由 $\sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$.而 $A+\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$，在此区间内 $\sin$ 取 $\frac{1}{2}$ 的解为 $A+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{6}$，故 $A=\frac{7\pi }{12}$.于是 $\tan A=\tan \frac{7\pi }{12}=\tan \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-(2+\sqrt{3})$.又 $\sin A=\sin \frac{7\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，面积 $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\times 3\times 2\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形与三角求值
2. 核心方法：$\sin A+\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$；$A\in (0,\pi )$，$A+\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$，取 $A+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{6}$，$A=\frac{7\pi }{12}$；$\tan A=\tan \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=-(2+\sqrt{3})$；$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin \frac{7\pi }{12}=\frac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$
3. 避坑指南：$\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$ 在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$ 只取 $\frac{5\pi }{6}$；$\tan \frac{7\pi }{12}=-(2+\sqrt{3})$；面积用 $\sin \frac{7\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于解三角形，教材”三角恒等变换”与”正弦定理”
2. 结论推广: 一般化：$\sin A+\cos A$ 化辅助角 $\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$ 定 $A$；由内角范围取 $A+\frac{\pi }{4}$ 的合理解，面积用 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.04 三角平方差公式

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-18 解-正弦定理解三角形求面积
• 2007-上海卷文-17 解-解三角形面积
• 2008-大纲Ⅱ文-17 解-解三角形求角面积