2005-湖北卷文-18 解-正弦定理解三角形求面积

本题导读

本题考查利用正弦定理、余弦定理求三角形的面积。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 在 $△ABC$ 中，已知 $\tan B=\sqrt{3}$，$\cos C=\frac{1}{3}$，$AC=3\sqrt{6}$，求 $△ABC$ 的面积．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\tan B=\sqrt{3}$ 得 $B=\frac{\pi }{3}$。
2. 由 $\cos C=\frac{1}{3}$ 求 $\sin C$、$\sin A=\sin (B+C)$。
3. 正弦定理求 $AB$、$BC$。
4. 面积 $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B$。

✅【答案】

Success

设a=BC，b=CA，c=AB.由于B是三角形内角且tanB=√3，所以B=π

✍【详细解析】

Abstract

由 $\tan B=\sqrt{3}$ 且 $B\in (0,\pi )$，得 $B=\frac{\pi }{3}$．由 $\cos C=\frac{1}{3}$ 得 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．由正弦定理 $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$，$AC=3\sqrt{6}$，得 $AB=\frac{AC\cdot \sin C}{\sin B}=\frac{3\sqrt{6}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$，$BC=\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}=\frac{3\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})$．面积 $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{6}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{2}+8\sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理解三角形求面积

核心方法：正弦定理定 $c=8$，$S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 且 $\sin A=\sin (B+C)$

避坑指南：$\tan B=\sqrt{3}$ 直接给 $B=\frac{\pi }{3}$；$\cos B=\frac{1}{2}$ 别丢——$\sin A=\sin B\cos C+\cos B\sin C$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 解三角形

结论推广：$B=\frac{\pi }{3}$，$\sin C=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$c=8$；$\sin A=\sin (B+C)=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，$S=6\sqrt{2}+8\sqrt{3}$

方法推广：已知两边角信息的三角形面积：正弦定理补边，再用 $\sin A=\sin (B+C)$ 避开 $A$ 的多解讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2010-大纲Ⅰ文-18 解-正弦定理求角