2006-全国卷II文-17 解-解三角形求边与中线

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于正余弦定理求边与中线。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知 $△ABC$ 中，$\angle B=45^{\circ }$，$AC=\sqrt{10}$，$\cos C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$． （1）求 $BC$ 边的长； （2）记 $AB$ 的中点为 $D$，求中线 $CD$ 的长度．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\cos C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 得 $\sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
2. $\sin A=\sin (135^{\circ }-C)=\sin 135^{\circ }\cos C-\cos 135^{\circ }\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
3. 由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$ 求 $BC$。
4. 先求 $AB$，再在 $△BCD$ 中用余弦定理求 $CD$。

✅【答案】

Success

(1)$BC=3\sqrt{2}$

(2)$CD=\sqrt{13}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\cos C=\frac{2\sqrt{5}}{5}>0$，得 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\frac{\sqrt{5}}{5}$． 因为 $A+B+C=180^{\circ }$，$B=45^{\circ }$，所以 $\sin A=\sin (135^{\circ }-C)=\sin 135^{\circ }\cos C-\cos 135^{\circ }\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$． 由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$，得 $BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{10}\times \frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}$． （2）由正弦定理 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$，得 $AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{\sqrt{10}\times \frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$，故 $BD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$． 在 $△BCD$ 中，由余弦定理 $C{D}^2=B{C}^2+B{D}^2-2\cdot BC\cdot BD\cos B=(3\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-2\times 3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $=18+\frac{1}{2}-3\sqrt{2}=18+\frac{1}{2}-3=13$（因 $2\times 3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=3$）． 故 $CD=\sqrt{13}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形求边与中线

核心方法：$\sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$，由正弦定理 $BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}=3\sqrt{2}$；中线 $C{D}^2=B{C}^2+B{D}^2-2\cdot BC\cdot BD\cos B=13$

避坑指南：先用内角和求 $\sin A$，再正弦定理求边；中线用余弦定理（$△BCD$），别漏 $\cos B$ 项或把中线当高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 解三角形中的边与中线求解，综合正弦余弦定理

结论推广: 正弦定理求边，余弦定理求中线长

方法推广: 中线长用余弦定理在含中线的三角形中求，注意夹角的余弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-17 解-解三角形求边周长
• 2008-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形综合
• 2009-大纲Ⅱ文-18 解-解三角形求角