2005-天津卷文-20 解-解三角形视角最大

本题导读

本题考查解三角形的实际应用与最值，核心在于把视角正切表为高度 $h$ 的函数后用导数求极值。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 某人在一山坡 $P$ 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高 $BC=80$（米），塔所在的山高 $OB=220$（米），$OA=200$（米），图中所示的山坡可视为直线 $l$ 且点 $P$ 在直线 $l$ 上，$l$ 与水平地面的夹角为 $\alpha$，$\tan \alpha =\frac{1}{2}$．试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大？（不计此人的身高）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$O(0,0)$、$A(200,0)$、$B(0,220)$、$C(0,300)$；由 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 得 $P(200+2h,h)$（$h$ 为此人离地高度）。
2. $\overrightarrow{PB}=(-X,220-h)$、$\overrightarrow{PC}=(-X,300-h)$，$X=200+2h$；叉积绝对值 $80X$，数量积 $X^2+(220-h)(300-h)=5h^2+280h+106000>0$。
3. $\tan \theta =\frac{80X}{X^2+(220-h)(300-h)}=\frac{16000+160h}{5h^2+280h+106000}$，求导 $\frac{d}{dh}\tan \theta =\frac{-800(h-60)(h+260)}{(\cdots {)}^2}$。
4. $h=60$ 处导数由正变负，$\tan \theta$ 最大，锐角范围内 $\theta$ 亦最大。

✅【答案】

Success

此人距水平地面 $60$ 米高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大

✍【详细解析】

Abstract

设此人距水平地面的高度为 $h$，则 $h⩾0$．取水平地面为 $x$ 轴，令 $O=(0,0)$，$A=(200,0)$，$B=(0,220)$，$C=(0,300)$．由 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，点 $P$ 的坐标为 $P=(200+2h,h)$． 记 $X=200+2h$，则 $\overrightarrow{PB}=(-X,220-h)$，$\overrightarrow{PC}=(-X,300-h)$．设观看塔的视角为 $\theta =\angle BPC$．向量叉积的绝对值为 $|\overrightarrow{PB}\times \overrightarrow{PC}|=80X$，数量积为 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=X^2+(220-h)(300-h)=5h^2+280h+106000>0$． 所以 $\theta$ 为锐角，且 $\tan \theta =\frac{80X}{X^2+(220-h)(300-h)}=\frac{16000+160h}{5h^2+280h+106000}$． 对 $h$ 求导，得 $\frac{d}{dh}\tan \theta =\frac{-800(h-60)(h+260)}{(5h^2+280h+106000{)}^2}$． 在 $h⩾0$ 时，导数在 $0⩽h<60$ 为正，在 $h>60$ 为负，所以 $\tan \theta$ 在 $h=60$ 处取得最大值．由于正切函数在锐角范围内单调递增，$\theta$ 也在此时最大． 因此，此人距水平地面 $60$ 米高时，观看塔的视角最大．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形视角最大

核心方法：设参列正切差角，均值不等式收口

避坑指南：设人距地面 $h$，$P(200+2h,h)$，$\tan \angle BPC=\frac{160(100+h)}{5h^2+280h+106000}$ 求导（或换元均值不等式）得 $h=60$ 时视角最大；导数为零点两侧符号验证确认极大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形应用：视角最值

结论推广：设高度参数，把目标角正切表为参数函数，求导或均值不等式求最值

方法推广：两向量夹角正切公式与到角公式二选一；实际应用题最值点两侧单调性需说明

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-17 解-解三角形
• 2009-大纲Ⅰ文-18 解-解三角形求边