2004-浙江文-07 单-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及常数项存在的条件。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 若 ${\left(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right)}^n$ 展开式中存在常数项，则 $n$ 的值可以是()

A. $8$　　　　　　　B. $9$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $k$ 个 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$、$n-k$ 个 $\sqrt{x}$，$x$ 指数 $\frac{n-k}{2}-\frac{k}{3}=\frac{3n-5k}{6}$。
2. 常数项令 $\frac{3n-5k}{6}=0$，即 $k=\frac{3n}{5}$。
3. $k$ 为整数且 $0⩽k⩽n$，故 $n$ 是 $5$ 的倍数，只有 $n=10$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

在展开式中取 $k$ 个 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$，取 $n-k$ 个 $\sqrt{x}$，所得项的 $x$ 的指数为 $\frac{n-k}{2}-\frac{k}{3}=\frac{3n-5k}{6}$.该项为常数项当且仅当 $3n-5k=0$，即 $k=\frac{3n}{5}$.由于 $k$ 必须是整数且满足 $0⩽k⩽n$，所以 $n$ 必须是 $5$ 的倍数，给出的选项中只有 $n=10$ 满足，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式常数项
2. 核心方法：取 $k$ 个 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$、$n-k$ 个 $\sqrt{x}$，$x$ 指数 $\frac{n-k}{2}-\frac{k}{3}=\frac{3n-5k}{6}$；常数项需 $3n-5k=0$ 即 $n$ 为 $5$ 的倍数，只有 $n=10$
3. 避坑指南：通项指数写成分式后令其为 $0$；$k=\frac{3n}{5}$ 必须是整数且 $0⩽k⩽n$，故 $n$ 是 $5$ 的倍数

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理的通项，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，令字母指数为零求常数项；写出通项令 $x$ 的指数为零，解出 $k$ 的整数条件

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项
• 2004-上海卷文-09 填-二项式系数概率
• 2005-福建卷文-13 填-二项式定理的常数项