2004-天津理-03 单-平面向量的夹角与共线

本题导读

本题考查平面向量的夹角与共线，以及相反向量与数乘运算。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 若平面向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a}=(1,-2)$ 的夹角是 180°，且 $|\vec{b}|=3\sqrt{5}$，则 $\vec{b}=$ ()

A. $(-3,6)$　　　B. $(3,-6)$　　　C. $(6,-3)$　　　D. $(-6,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析夹角性质：由于 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 180°，说明两个向量方向完全相反（反向共线）。
2. 设出数乘关系：可设 $\vec{b}=\lambda \vec{a}=(\lambda ,-2\lambda )$，由于方向相反，系数 $\lambda$ 必须满足 $\lambda <0$。
3. 结合模长求参：利用向量的模长公式计算 $|\vec{b}|$ 并与已知条件联立，求出 $\lambda$ 的值进而得到 $\vec{b}$ 的坐标。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定反向共线数乘关系 因为平面向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}=(1,-2)$ 的夹角是 180°， 根据共线向量与夹角定义， $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 互为反向共线向量。 因此，存在负实数 $\lambda <0$，使得： $\vec{b}=\lambda \vec{a}=(\lambda ,-2\lambda )$

• 第二步：利用模长公式求出系数 $\lambda$ 根据向量模长公式计算 $|\vec{b}|$： $|\vec{b}|=\sqrt{{\lambda }^2+(-2\lambda {)}^2}=\sqrt{{\lambda }^2+4{\lambda }^2}=\sqrt{5{\lambda }^2}$ 由于 $\lambda <0$，开平方提出后需加负号以保证结果为正： $|\vec{b}|=-\lambda \sqrt{5}$ 已知 $|\vec{b}|=3\sqrt{5}$，代入建立方程： $-\lambda \sqrt{5}=3\sqrt{5}⟹-\lambda =3⟹\lambda =-3$

• 第三步：求得向量 $\vec{b}$ 的坐标 将 $\lambda =-3$ 代入 $\vec{b}=(\lambda ,-2\lambda )$ 中： $\vec{b}=(-3,-2\times (-3))=(-3,6)$

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：夹角 180° 对应反向共线（数乘系数为负）、向量模长坐标计算。
2. 核心方法：待定系数法。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉方向限制。夹角为 180° 意味着方向相反，算出的数乘系数 $\lambda$ 必须为负。如果错当成 0°（同向）算得 $\lambda =3$，就会误选到 B 选项。
   • 开平方时注意变量的符号。由 $\sqrt{{\lambda }^2}=|\lambda |$，在已知 $\lambda <0$ 的前提下，开方结果应写为 $-\lambda$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考平面向量基本坐标运算与概念考查题。
2. 结论推广: 一般地，若已知向量 $\vec{a}$，而向量 $\vec{b}$ 与其夹角为 180° 且模长为 $M$，则 $\vec{b}$ 对应的公式可直接写为： $\vec{b}=-\frac{M}{|\vec{a}|}\vec{a}$。直接代入本题计算： $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$，则 $\vec{b}=-\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}(1,-2)=-3(1,-2)=(-3,6)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形