2004-天津文-19 解-四棱锥线面平行与线面角

本题导读

本题考查四棱锥的线面平行与线面角。核心在于建系用向量证线面平行，再用射影求线面角正切。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，$PD=DC$，$E$ 是 $PC$ 的中点.

(1) 证明：$PA\parallel$ 平面 $EDB$；

(2) 求 $EB$ 与底面 $ABCD$ 所成角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $D$ 为原点，$DA,DC,DP$ 为坐标轴，设 $PD=DC=a$。
2. 求平面 $EDB$ 法向量，证 $\overrightarrow{PA}$ 与法向量垂直。
3. 求 $E$ 在底面射影 $H$，$\tan \theta =\frac{EH}{HB}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

取正方形边长为 $a$，则 $PD=DC=a$.建立空间直角坐标系，取 $D(0,0,0)$、$A(a,0,0)$、$B(a,a,0)$、$C(0,a,0)$、$P(0,0,a)$，因 $E$ 是 $PC$ 的中点，$E\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$. （1）平面 $EDB$ 内取 $\overrightarrow{DB}=(a,a,0)$、$\overrightarrow{DE}=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$，向量 $\vec{n}=(1,-1,1)$ 同时垂直于这两向量，可作为平面 $EDB$ 的法向量。又 $\overrightarrow{PA}=(a,0,-a)$，故 $\overrightarrow{PA}\cdot \vec{n}=a-a=0$，即 $PA$ 的方向向量垂直于平面 $EDB$ 的法向量，$PA$ 平行于平面 $EDB$（$P$ 不在该平面内），故 $PA\parallel$ 平面 $EDB$. （2）$E$ 在底面 $ABCD$ 内的射影为 $H\left(0,\frac{a}{2},0\right)$，故 $EH=\frac{a}{2}$，$HB=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.设 $EB$ 与底面所成的角为 $\theta$，则 $\tan \theta =\frac{EH}{HB}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四棱锥线面平行与线面角
2. 核心方法：（1）建系 $D$ 为原点，平面 $EDB$ 法向量 $\vec{n}=(1,-1,1)$，$\overrightarrow{PA}=(a,0,-a)$，$\overrightarrow{PA}\cdot \vec{n}=0$，故 $PA\parallel$ 面 $EDB$；（2）$E$ 射影 $H=(0,\frac{a}{2},0)$，$\tan \theta =\frac{EH}{HB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
3. 避坑指南：$PD=DC=a$ 定高；$PA$ 方向向量与法向量垂直且 $P$ 不在面内，故线面平行；线面角正切 $=$ 高 $/$ 射影长

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于四棱锥的线面平行与线面角，教材”空间向量与立体几何”
2. 结论推广: 一般化：建系用向量证线面平行，用射影求线面角正切；法向量与方向向量垂直且点不在面内证平行；线面角正切 $=$ 高 $/$ 射影长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2007-天津文-19 解-四棱锥线面角与二面角
• 2011-天津卷文-17 解-线面平行与线面角