2004-北京卷文-10 填-对数方程求解

本题导读

本题考查对数方程，以及真数为正的检验。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 方程 $\lg (x^2+2)=\lg x+\lg 3$ 的解是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\lg x+\lg 3=\lg (3x)$。
2. $x^2+2=3x$，解方程。
3. 检验 $x>0$。

✅【答案】

Success

$x=1$ 或 $x=2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\lg (x^2+2)=\lg x+\lg 3=\lg (3x)$，得 $x^2+2=3x$，即 $x^2-3x+2=0$，解得 $x=1$ 或 $x=2$.两解均满足真数 $x>0$，故解为 $x=1,2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数方程求解
2. 核心方法：$\lg (x^2+2)=\lg x+\lg 3=\lg (3x)$，故 $x^2+2=3x$，$x^2-3x+2=0$，$x=1$ 或 $2$，均满足 $x>0$
3. 避坑指南：对数方程化为真数相等 $x^2+2=3x$；解出 $1,2$ 都要检验 $x>0$（均成立），别只写一个

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数运算与方程，教材”对数函数”
2. 结论推广: 一般化：$\lg A=\lg B\Rightarrow A=B$（$A,B>0$）；合并对数后令真数相等，解出根需检验真数为正

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-08 填-对数方程化同底
• 2006-辽宁文-13 填-对数方程求解
• 2010-浙江卷文-02 单-对数方程