2006-上海文-08 填-对数方程化同底

本题导读

本题考查对数方程，以及对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 方程 ${\log }_3(x^2-10)=1+{\log }_{3}x$ 的解是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 真数需满足 $x>0$ 且 $x^2-10>0$。
2. $1={\log }_{3}3$，故 ${\log }_3(x^2-10)={\log }_3(3x)$，得 $x^2-10=3x$。
3. 解 $x^2-3x-10=0$ 得 $x=5$ 或 $x=-2$，舍去负根与使真数为负者，得 $x=5$。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

由真数大于零得 $x>0$ 且 $x^2-10>0$。 原方程化为 ${\log }_3(x^2-10)={\log }_3(3x)$， 故 $x^2-10=3x$，即 $x^2-3x-10=0$，解得 $x=5$ 或 $x=-2$。 其中 $x=-2$ 不满足 $x>0$，舍去，故原方程的解为 $x=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程化同底

核心方法：同底化去对数并验根

避坑指南：$1={\log }_{3}3$，化 ${\log }_3(x^2-10)={\log }_3(3x)$ 得 $x^2-10=3x$；必须验 $x>0$ 且 $x^2-10>0$，负根与使真数为负者舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 对数方程，基础题

结论推广: 同底化去对数后解方程并验真数大于零

方法推广: 对数方程必验根，排除使真数非正的增根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间
• 2015-上海卷文-08 填-对数方程