2006-辽宁文-13 填-对数方程求解

本题导读

本题考查对数方程，以及对数运算。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 方程 ${\log }_2(x-1)=2-{\log }_2(x+1)$ 的解为____．

🔍【思路分析】

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1. 移项 ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=2$。
2. 同底相加 ${\log }_2[(x-1)(x+1)]=2$，即 $x^2-1=2^2=4$。
3. $x^2=5$，$x=\pm \sqrt{5}$。
4. 真数需 $x-1>0$ 且 $x+1>0$，即 $x>1$，故 $x=\sqrt{5}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

移项得 ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=2$， 由对数运算法则 ${\log }_2[(x-1)(x+1)]=2$， 即 $x^2-1=2^2=4$，$x^2=5$，$x=\pm \sqrt{5}$． 又真数须满足 $x-1>0$ 且 $x+1>0$，即 $x>1$， 故 $x=\sqrt{5}$． 故方程的解为 $\sqrt{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程求解

核心方法：同底合并化整式方程，真数范围验根

避坑指南：${\log }_2(x^2-1)=2$，$x^2=5$，由 $x>1$ 舍去负根，$x=\sqrt{5}$；别忘记真数须为正这一验根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 对数方程，基础运算题

结论推广: 同底对数合并为 ${\log }_2(x^2-1)=2$ 后化为指数式，验真数

方法推广: 对数方程必须验根，真数须为正

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-10 单-对数方程值域条件
• 2010-浙江卷文-02 单-对数方程