2004-全国卷IV文-18 解-等比数列通项与和

本题导读

本题考查等比数列的通项与前 $n$ 项和。核心在于由两项定公比，再证和的不等式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，$a_2=6$，$a_5=162$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，证明 $\frac{S_n\cdot S_{n+2}}{S_{n+1}^2}⩽1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $q^3=\frac{a_5}{a_2}=27$，$q=3$，$a_1=2$。
2. $a_n=2\cdot 3^{n-1}$，$S_n=3^n-1$。
3. 证 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}⩾0$。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=2\cdot 3^{n-1}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公比为 $q$，由 $a_5=a_2{q}^3$ 得 $162=6q^3$，$q=3$，故 $a_1=\frac{a_2}{q}=2$，通项 $a_n=2\cdot 3^{n-1}$. （2）由等比数列求和 $S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1$.故 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}=(3^{n+1}-1{)}^2-(3^n-1)(3^{n+2}-1)=4\cdot 3^n>0$，即 $S_n{S}_{n+2}<S_{n+1}^2$，所以 $\frac{S_n\cdot S_{n+2}}{S_{n+1}^2}⩽1$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项与和
2. 核心方法：$q^3=\frac{a_5}{a_2}=27$，$q=3$，$a_1=2$，$a_n=2\cdot 3^{n-1}$；$S_n=3^n-1$，$S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}=4\cdot 3^n>0$
3. 避坑指南：$S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1$；证 $\frac{S_n{S}_{n+2}}{S_{n+1}^2}⩽1⟺S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}⩾0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等比数列，教材”等比数列”
2. 结论推广: 一般化：由 $a_m,a_n$ 定 $q$，再证 $S_{n+1}^2⩾S_n{S}_{n+2}$；$S_n{S}_{n+2}⩽S_{n+1}^2$ 等价于 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}⩾0$，展开验证

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-04 单-等比数列前n项和
• 2006-全国卷II文-18 解-等比数列求和求通项
• 2010-大纲Ⅱ文-18 解-等比数列通项与求和