2002-新课标文-17 解-等比数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项与求和。核心在于用等比中项确定基本量。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_6-a_4=24$，$a_3{a}_5=64$，求 $\{a_n\}$ 前 $8$ 项的和 $S_8$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_3{a}_5=a_4^2=64$ 得 $a_4=\pm 8$。
2. $a_6-a_4=a_4(q^2-1)=24$，分 $a_4$ 与 $q$ 讨论。

✅【答案】

Success

$S_8=255$ 或 $S_8=85$

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$．由 $a_3{a}_5=a_4^2=64$ 得 $a_4=8$ 或 $a_4=-8$．又 $a_6-a_4=a_4(q^2-1)=24$．当 $a_4=8$ 时 $q^2-1=3$，$q=\pm 2$；当 $a_4=-8$ 时 $q^2-1=-3$ 不可能．若 $q=2$，则 $a_1=\frac{a_4}{q^3}=1$，$S_8=\frac{1\cdot (1-2^8)}{1-2}=255$；若 $q=-2$，则 $a_1=-1$，$S_8=\frac{-1\cdot (1-(-2{)}^8)}{1-(-2)}=85$．故 $S_8=255$ 或 $85$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和

核心方法：$a_3{a}_5=a_4^2=64$ 得 $a_4=\pm 8$，$a_6-a_4=a_4(q^2-1)=24$；$a_4=8$ 时 $q=\pm 2$，$S_8=255$ 或 $85$；$a_4=-8$ 无解

避坑指南：等比中项定 $a_4$，分 $q=2$ 与 $q=-2$ 讨论求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列

结论推广：一般地，等比中项与通项结合求首项公比

方法推广：分公比正负讨论求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-18 解-等比数列通项与和
• 2004-全国卷III文-04 单-等比数列前n项和
• 2003-上海文-08 填-等比数列前n项和性质