2004-重庆文-22 解-二阶递推数列求和

本题导读

本题考查二阶线性递推数列的通项与求和。核心在于用特征根法求通项，再用对等比和求导的方法求和。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，$a_2=\frac{5}{3}$，$a_{n+2}=\frac{5}{3}{a}_{n+1}+\frac{1}{3}{a}_n$（$n=1,2,\cdots$）．

(1) 令 $b_n=a_{n+1}-a_n$（$n=1,2,\cdots$），求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 特征方程 $r^2-\frac{5}{3}r-\frac{1}{3}=0$，两根 $\alpha =\frac{5+\sqrt{37}}{6}$，$\beta =\frac{5-\sqrt{37}}{6}$，满足 $\alpha +\beta =\frac{5}{3}$，$\alpha \beta =-\frac{1}{3}$。
2. 由 $a_1=2=1+1$、$a_2=\frac{5}{3}=\alpha +\beta$，得 $a_n={\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}$。
3. （1）$b_n=a_{n+1}-a_n=\frac{\sqrt{37}-1}{6}{\alpha }^{n-1}-\frac{\sqrt{37}+1}{6}{\beta }^{n-1}$；（2）$S_n={\sum }_{k=1}^{n}k{a}_k$，用 $\sum k{r}^{k-1}=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$ 求和。

✅【答案】

Success

(1) $b_n=\frac{\sqrt{37}-1}{6}{\left(\frac{5+\sqrt{37}}{6}\right)}^{n-1}-\frac{\sqrt{37}+1}{6}{\left(\frac{5-\sqrt{37}}{6}\right)}^{n-1}$

(2) $S_n=\frac{1-(n+1){\alpha }^n+n{\alpha }^{n+1}}{(1-\alpha {)}^2}+\frac{1-(n+1){\beta }^n+n{\beta }^{n+1}}{(1-\beta {)}^2}$，其中 $\alpha =\frac{5+\sqrt{37}}{6}$，$\beta =\frac{5-\sqrt{37}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设特征方程为 $r^2-\frac{5}{3}r-\frac{1}{3}=0$，其两根为 $\alpha =\frac{5+\sqrt{37}}{6}$，$\beta =\frac{5-\sqrt{37}}{6}$，满足 $\alpha +\beta =\frac{5}{3}$，$\alpha \beta =-\frac{1}{3}$.由初值 $a_1=2=1+1$、$a_2=\frac{5}{3}=\alpha +\beta$，可得 $a_n={\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}$. （1）由 $b_n=a_{n+1}-a_n$，得 $b_n=(\alpha -1){\alpha }^{n-1}+(\beta -1){\beta }^{n-1}$.而 $\alpha -1=\frac{\sqrt{37}-1}{6}$，$\beta -1=-\frac{\sqrt{37}+1}{6}$，故 $b_n=\frac{\sqrt{37}-1}{6}{\left(\frac{5+\sqrt{37}}{6}\right)}^{n-1}-\frac{\sqrt{37}+1}{6}{\left(\frac{5-\sqrt{37}}{6}\right)}^{n-1}$. （2）$S_n={\sum }_{k=1}^{n}k{a}_k={\sum }_{k=1}^{n}k({\alpha }^{k-1}+{\beta }^{k-1})$.对任意 $r\ne 1$，由等比数列求和公式求导得 ${\sum }_{k=1}^{n}k{r}^{k-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right)=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$.故 $S_n=\frac{1-(n+1){\alpha }^n+n{\alpha }^{n+1}}{(1-\alpha {)}^2}+\frac{1-(n+1){\beta }^n+n{\beta }^{n+1}}{(1-\beta {)}^2}$，其中 $\alpha =\frac{5+\sqrt{37}}{6}$，$\beta =\frac{5-\sqrt{37}}{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二阶递推数列求和
2. 核心方法：特征方程 $r^2-\frac{5}{3}r-\frac{1}{3}=0$，两根 $\alpha =\frac{5+\sqrt{37}}{6},\beta =\frac{5-\sqrt{37}}{6}$，$a_n={\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}$；（1）$b_n=a_{n+1}-a_n=\frac{\sqrt{37}-1}{6}{\alpha }^{n-1}-\frac{\sqrt{37}+1}{6}{\beta }^{n-1}$；（2）$S_n=\sum k{a}_k$，用 $\sum k{r}^{k-1}=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$ 求和
3. 避坑指南：特征根 $\alpha +\beta =\frac{5}{3},\alpha \beta =-\frac{1}{3}$；由 $a_1=2=1+1,a_2=\frac{5}{3}=\alpha +\beta$ 定 $a_n={\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}$；等差乘等比求和用对等比和求导，勿漏 $r\ne 1$ 前提

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二阶线性递推数列，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$ 用特征根 $\alpha ,\beta$ 表示 $a_n=A{\alpha }^n+B{\beta }^n$；特征根法求通项，等差乘等比用求导求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-18 解-等比数列通项与和
• 2005-山东卷文-21 解-数列递推与导数求和
• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减