2004-全国卷III理-07 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 设双曲线的焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线为 $y=\pm \frac{1}{2}x$，则该双曲线的离心率 $e=$ ()

A. 5　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{5}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定渐近线方程结构：因为双曲线的焦点在 $x$ 轴上，所以其标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，其对应的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 建立参数比例：将已知渐近线 $y=\pm \frac{1}{2}x$ 与标准形式比对，得出 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2b$。
3. 计算离心率：利用双曲线的离心率定义 $e=\frac{c}{a}$ 以及基本量关系 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入比例关系消元即可求出 $e$ 的值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线的焦点在 $x$ 轴上， 可设该双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 此时，双曲线的渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x$

已知双曲线的两条渐近线为 $y=\pm \frac{1}{2}x$，通过系数比对可得： $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2b$

根据双曲线中参数 $a,b,c$ 的几何量关系 $c^2=a^2+b^2$，将 $a=2b$ 代入得： $c^2=(2b{)}^2+b^2=4b^2+b^2=5b^2⟹c=\sqrt{5}b$

根据双曲线离心率的定义： $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}b}{2b}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程形式 $y=\pm \frac{b}{a}x$、离心率公式 $e=\frac{c}{a}$、平方特征恒等式 $c^2=a^2+b^2$。
2. 核心方法：齐次消除参数法。
3. 避坑指南：
   • 务必分清双曲线焦点在不同轴上时渐近线方程的差异。当焦点在 $x$ 轴上时，渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$；若焦点在 $y$ 轴上，渐近线斜率则为 $\pm \frac{a}{b}$。如果本题弄反，会错误算得 $\frac{b}{a}=2⟹b=2a⟹c=\sqrt{5}a⟹e=\sqrt{5}$，从而误选 (B)。
   • 离心率 $e$ 是一个不依赖于具体绝对长度的“纯形状参数”，求 $e$ 时只需建立 $a,b,c$ 之间的比例（齐次式）即可，不需要也无法求出其具体数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典圆锥曲线标准性质基础题。
2. 结论推广: 对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线，若其渐近线方程为 $y=\pm kx(k>0)$，则其离心率满足恒等通用公式： $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+k^2}$。直接代入本题的 $k=\frac{1}{2}$ 即可秒杀： $e=\sqrt{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-14 填-双曲线的离心率
• 2006-湖南文-09 单-双曲线渐近线截线中点
• 2006-陕西文-10 单-双曲线离心率