2005-山东卷文-14 填-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及定位直角再列方程。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，右准线 $l$ 与两条渐近线交于 $P$、$Q$ 两点，如果 $△PQF$ 是直角三角形，则双曲线的离心率 $e=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 渐近线与准线交点 $P,Q$ 横坐标相同，$PQ$ 竖直。
2. 直角只能在 $F$（在 $P$ 或 $Q$ 处需 $b=0$ 舍去）。
3. ${\left(c-\frac{a^2}{c}\right)}^2={\left(\frac{ab}{c}\right)}^2$ 解 $a=b$。

✅【答案】

Success

$\surd 2$

✍【详细解析】

Abstract

设半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$，右焦点 $F(c,0)$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}$．令 $d=\frac{a^2}{c}$，则渐近线与准线的交点为 $P\left(d,\frac{bd}{a}\right)$，$Q\left(d,-\frac{bd}{a}\right)$，$PQ$ 是竖直线段．若直角在 $P$ 或 $Q$ 处，则 $FP$ 或 $FQ$ 须水平，即 $\frac{bd}{a}=0$，得 $b=0$，与 $b>0$ 矛盾，故直角在 $F$ 处．于是 $\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}=0$，即 ${\left(d-c\right)}^2-{\left(\frac{bd}{a}\right)}^2=0$，也即 ${\left(c-d\right)}^2={\left(\frac{bd}{a}\right)}^2$． 由于 $c-d=c-\frac{a^2}{c}=\frac{c^2-a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$，而 $\frac{bd}{a}=\frac{ab}{c}$，故 $\frac{b^2}{c}=\frac{ab}{c}$，由 $a$，$b>0$ 得 $a=b$，从而 $c=\sqrt{2}a$，所以 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：直角必在 $F$：$(c-\frac{a^2}{c}{)}^2={\left(\frac{ab}{c}\right)}^2$ 解出 $a=b$

避坑指南：准线与渐近线交点是竖直弦，直角在 $P$ 或 $Q$ 需 $b=0$ 舍去——先定位直角再列方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 双曲线

结论推广：准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 与渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 交于 $P,Q$；直角在 $F$ 得 ${\left(c-\frac{a^2}{c}\right)}^2=\frac{a^2{b}^2}{c^2}$，解 $a=b$，$e=\sqrt{2}$

方法推广：“渐近线与准线交点”是双曲线的常用构图，直角位置先排查再列式；等轴双曲线 $e=\sqrt{2}$ 是高频结论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-14 填-双曲线离心率
• 2001-大纲理-14 填-双曲线的几何性质