2006-湖南文-09 单-双曲线渐近线截线中点

本题导读

本题考查双曲线，以及渐近线。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 过双曲线 $M:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左顶点 $A$ 作斜率为 $1$ 的直线 $l$，若 $l$ 与双曲线 $M$ 的两条渐近线分别相交于点 $B$，$C$，且 $|AB|=|BC|$，则双曲线 $M$ 的离心率是()

A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=1$，左顶点 $A(-1,0)$，直线 $l:y=x+1$；渐近线 $y=\pm bx$。
2. $l$ 与 $y=-bx$ 交点 $B$：$x+1=-bx\Rightarrow x_B=-\frac{1}{b+1}\in (-1,0)$；$l$ 与 $y=bx$ 交点 $C$：$x_C=\frac{1}{b-1}$（$b>1$ 时 $x_C>0$）。
3. 沿 $l$ 顺序为 $A\to B\to C$，$|AB|=|BC|$ 即 $B$ 为 $AC$ 中点：$2x_B=x_A+x_C$。
4. $-\frac{2}{b+1}=-1+\frac{1}{b-1}=\frac{2-b}{b-1}$，解得 $b^2=9$，$b=3$。
5. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$a=1$，左顶点 $A(-1,0)$，直线 $l:y=x+1$，渐近线 $y=\pm bx$． $l$ 与 $y=-bx$ 的交点：$x+1=-bx$，得 $x_B=-\frac{1}{b+1}$，$y_B=\frac{b}{b+1}$（当 $b>1$ 时 $x_B\in (-1,0)$）； $l$ 与 $y=bx$ 的交点：$x+1=bx$，得 $x_C=\frac{1}{b-1}$，$y_C=\frac{b}{b-1}$（$b>1$ 时 $x_C>0$）． 沿直线 $l$ 从 $A$ 出发的顺序为 $A\to B\to C$，由 $|AB|=|BC|$ 知 $B$ 是线段 $AC$ 的中点，故 $2x_B=x_A+x_C⟺-\frac{2}{b+1}=-1+\frac{1}{b-1}=\frac{2-b}{b-1}.$ 交叉相乘：$-2(b-1)=(2-b)(b+1)$，展开得 $-2b+2=2b+2-b^2-b$，即 $b^2-3b=0$， 由 $b>0$ 得 $b=3$． 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，选 D． ★【裁定】答案册印 C（$sqrt5$），但按中点条件复算 $b=3$、$$\begin{gathered} e= \\ sqrt10 \end{gathered}$$，多源（book118、docin 转载官方参考答案）亦记为 D，故以 D 为准。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线截线中点

核心方法：沿直线 $l$ 顺序记 $B$（近）、$C$（远），$|AB|=|BC|$ 即 $B$ 为 $AC$ 中点，联立渐近线解得 $b=3$，$e=\sqrt{10}$

避坑指南：先判三点在 $l$ 上的顺序再定中点；$e=\sqrt{1+b^2}$（$a=1$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线渐近线与截线中点，解析几何

结论推广: 中点条件联立渐近线解 $b$，$e=\sqrt{1+b^2}$

方法推广: 直线与渐近线交点用参数顺序定中点，避免设错

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-天津文-22 解-双曲线渐近线与面积
• 2008-大纲Ⅱ文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-四川文-11 单-双曲线焦点三角形面积