2004-全国卷III文-22 解-椭圆焦点与垂直

本题导读

本题考查椭圆的焦点与垂直关系。核心在于把 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 转化为方程有解的条件求参数范围。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{m+1}+y^2=1$ 的两个焦点是 $F_1(-c,0)$ 与 $F_2(c,0)$（$c>0$），且椭圆上存在一点 $P$，使得直线 $P{F}_1$ 与 $P{F}_2$ 垂直.

(1) 求实数 $m$ 的取值范围；

(2) 设 $L$ 是相应于焦点 $F_2$ 的准线，直线 $P{F}_2$ 与 $L$ 相交于点 $Q$，若 $\left|\frac{Q{F}_2}{P{F}_2}\right|=2-\sqrt{3}$，求直线 $P{F}_2$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=m+1$、$c^2=m$（$m>0$）；$P{F}_1\perp P{F}_2$ 得 $x^2+y^2=c^2=m$。
2. 与椭圆联立消 $y^2$ 得 $x^2=\frac{m^2-1}{m}$，需 $m^2-1⩾0$。
3. （2）由距离比定 $m=2$，再求直线斜率。

✅【答案】

Success

(1) $m⩾1$

(2) $y=\pm (2-\sqrt{3})(x-\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）椭圆长半轴平方为 $m+1$，短半轴平方为 $1$，焦点在 $x$ 轴且 $c>0$，故 $m>0$，$c^2=(m+1)-1=m$.设 $P=(x,y)$，由 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 得 $(x+c,y)\cdot (x-c,y)=x^2+y^2-c^2=0$，即 $x^2+y^2=m$.与椭圆方程联立消去 $y^2$：$\frac{x^2}{m+1}+m-x^2=1$，得 $x^2=\frac{m^2-1}{m}$，$y^2=m-x^2=\frac{1}{m}$.要使 $x$ 为实数，需 $m^2-1⩾0$，即 $m⩾1$，故 $m$ 的取值范围为 $[1,+\infty )$. （2）准线 $L:x=\frac{m+1}{\sqrt{m}}$.由 $x^2=\frac{m^2-1}{m}<m=c^2$ 知 $x<c$，$Q$ 在 $F_2$ 右侧，同一直线上距离之比等于横坐标差之比，$\left|\frac{Q{F}_2}{P{F}_2}\right|=\frac{\frac{m+1}{\sqrt{m}}-\sqrt{m}}{\sqrt{m}-x}=\frac{1}{m-\sqrt{m}x}$.由题设比值为 $2-\sqrt{3}$，得 $m-\sqrt{m}x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$，故 $x=\frac{m-(2+\sqrt{3})}{\sqrt{m}}$.代入 $x^2=\frac{m^2-1}{m}$ 得 $(m-(2+\sqrt{3}){)}^2=m^2-1$，整理得 $2(2+\sqrt{3})m=(2+\sqrt{3}{)}^2+1=4(2+\sqrt{3})$，故 $m=2$.此时 $c=\sqrt{2}$，$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$，直线 $P{F}_2$ 斜率为 $\frac{y}{x-\sqrt{2}}=\pm (\sqrt{3}-2)=\mp (2-\sqrt{3})$，故方程为 $y=\pm (2-\sqrt{3})(x-\sqrt{2})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点与垂直
2. 核心方法：（1）$a^2=m+1$，$c^2=m$（$m>0$）；$P{F}_1\perp P{F}_2$ 得 $x^2+y^2=c^2=m$，联立椭圆消 $y^2$ 得 $x^2=\frac{m^2-1}{m}$，需 $m^2-1⩾0$，故 $m⩾1$；（2）准线 $x=\frac{m+1}{\sqrt{m}}$，由 $\frac{|Q{F}_2|}{|P{F}_2|}=2-\sqrt{3}$ 定出 $m=2$，$c=\sqrt{2}$，$P(-\frac{\sqrt{3}}{2},\pm \frac{1}{\sqrt{2}})$，直线 $P{F}_2$ 斜率 $\pm (2-\sqrt{3})$，方程 $y=\pm (2-\sqrt{3})(x-\sqrt{2})$
3. 避坑指南：（1）焦点在 $x$ 轴且 $c>0$ 故 $m>0$，$c^2=(m+1)-1=m$；垂直用点积为零；（2）同一直线距离比=横坐标差比，比值 $2-\sqrt{3}<1$ 说明 $Q$ 在 $F_2$ 右侧

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于椭圆焦点与垂直，教材”圆锥曲线”综合
2. 结论推广: 一般化：$P{F}_1\perp P{F}_2$（$P$ 在椭圆上）等价于 $x^2+y^2=c^2$ 与椭圆有公共点；垂直用点积为零得圆 $x^2+y^2=c^2$，与椭圆联立判有解得参数范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-22 解-椭圆垂直焦点弦面积
• 2007-大纲Ⅰ文-22 解-椭圆垂直弦与四边形面积最值
• 2005-重庆卷文-16 填-垂直平分线与椭圆定义