2005-全国卷II文-22 解-椭圆垂直焦点弦面积

本题导读

本题考查直线与椭圆的位置关系、弦长与面积的最值。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） $P$、$Q$、$M$、$N$ 四点都在椭圆 $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ 上，$F$ 为椭圆在 $y$ 轴正半轴上的焦点．已知 $\overrightarrow{PF}$ 与 $\overrightarrow{FQ}$ 共线，$\overrightarrow{MF}$ 与 $\overrightarrow{FN}$ 共线，且 $\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{MF}=0$．求四边形 $PMQN$ 的面积的最小值和最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆长半轴 $\sqrt{2}$、短半轴 $1$，焦距一半 $1$，焦点 $F(0,1)$。
2. $PQ$ 与 $MN$ 是过 $F$ 的两条弦，且 $\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{MF}=0$ 得两弦垂直，是四边形两对角线。
3. 设弦方向 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，用参数方程求弦长 $L_1,L_2$，面积 $S=\frac{1}{2}{L}_1{L}_2$ 求最值。

✅【答案】

Success

四边形 $PMQN$ 的面积的最小值为 $\frac{16}{9}$，最大值为 $2$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ 的长半轴为 $\sqrt{2}$、短半轴为 $1$，故半焦距 $c=\sqrt{2-1}=1$，焦点 $F=(0,1)$． 由题意 $PQ$ 与 $MN$ 是过 $F$ 的两条弦，且 $\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{MF}=0$ 得两弦互相垂直，它们恰是四边形 $PMQN$ 的两条对角线． 设其中一条弦的方向单位向量为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，则该弦上的点可写为 $(t\cos \theta ,1+t\sin \theta )$，代入椭圆方程得 $\left({\cos }^2\theta +\frac{1}{2}{\sin }^2\theta \right)t^2+\sin \theta t-\frac{1}{2}=0$． 设两根为 $t_1,t_2$，由根差公式得弦长 $L_1=|t_1-t_2|=\frac{\sqrt{{\sin }^2\theta +2\left({\cos }^2\theta +\frac{1}{2}{\sin }^2\theta \right)}}{{\cos }^2\theta +\frac{1}{2}{\sin }^2\theta }=\frac{2\sqrt{2}}{1+{\cos }^2\theta }$． 与它垂直的弦方向可取 $(-\sin \theta ,\cos \theta )$，同理 $L_2=\frac{2\sqrt{2}}{1+{\sin }^2\theta }$． 因两对角线垂直，四边形面积 $S=\frac{1}{2}{L}_1{L}_2=\frac{4}{(1+{\cos }^2\theta )(1+{\sin }^2\theta )}=\frac{4}{2+{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }$． 由 $0\le {\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \le \frac{1}{4}$，得 $\frac{16}{9}\le S\le 2$．当 $|\sin \theta |=|\cos \theta |$ 时取最小值 $\frac{16}{9}$，当 $\sin \theta \cos \theta =0$ 时取最大值 $2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆垂直焦点弦面积

核心方法：两弦 $PQ\perp MN$ 且过焦点 $F(0,1)$，设弦方向 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 得 $L_1=\frac{2\sqrt{2}}{1+{\cos }^2\theta }$，$L_2=\frac{2\sqrt{2}}{1+{\sin }^2\theta }$；面积 $S=\frac{1}{2}{L}_1{L}_2=\frac{4}{2+{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }\in \left[\frac{16}{9},2\right]$

避坑指南：两弦垂直时面积 $=\frac{1}{2}$ 两对角线积；由 $0\le {\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \le \frac{1}{4}$ 得 $S\in \left[\frac{16}{9},2\right]$，取等分别在 $\sin \theta =\cos \theta$ 与 $\sin \theta \cos \theta =0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆两垂直焦点弦围成的四边形面积最值

结论推广：垂直弦四边形面积 $=\frac{1}{2}$ 两对角线积；用弦长公式参数化

方法推广：设弦方向角 $\theta$，用参数方程求弦长，再求面积范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2009-大纲Ⅰ文-12 单-椭圆准线向量