2004-湖南文-15 填-椭圆焦点垂直

本题导读

本题考查椭圆的焦点，以及满足 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 的点的个数。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） $F_1$、$F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 的焦点，在 $C$ 上满足 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 的点 $P$ 的个数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=8,b^2=4,c^2=4$，焦点 $(\pm 2,0)$。
2. $P{F}_1\perp P{F}_2$ 的点在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆 $x^2+y^2=4$ 上。
3. 圆与椭圆联立求交点，得 $2$ 个（$b=c=2$，圆过短轴端点）。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆中 $a^2=8$，$b^2=4$，故 $c^2=a^2-b^2=4$，焦点为 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$.$P{F}_1\perp P{F}_2$ 等价于 $P$ 在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上，该圆方程为 $x^2+y^2=4$.联立 $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x^2+y^2=4\end{array}$，消去 $y^2$ 得 $\frac{x^2}{8}+\frac{4-x^2}{4}=1$，即 $\frac{x^2}{8}+1-\frac{x^2}{4}=1$，得 $x^2=0$，$x=0$，从而 $y=\pm 2$.故满足条件的点有 $2$ 个（短轴两个端点）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点垂直
2. 核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，$a^2=8,b^2=4,c^2=4$，焦点 $(\pm 2,0)$；$P{F}_1\perp P{F}_2$ 的点在圆 $x^2+y^2=4$ 上，与椭圆联立求交点个数，得 $2$
3. 避坑指南：$P{F}_1\perp P{F}_2$ 的轨迹是以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆 $x^2+y^2=c^2$；联立椭圆求交点个数，注意 $b=c=2$ 时切点情形

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于椭圆焦点与垂直，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$P{F}_1\perp P{F}_2$ 的轨迹是直径圆 $x^2+y^2=c^2$；联立椭圆与直径圆，求交点个数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-22 解-椭圆焦点与垂直
• 2005-全国卷II文-22 解-椭圆垂直焦点弦面积
• 2004-天津文-22 解-椭圆方程与向量垂直