2005-重庆卷文-16 填-垂直平分线与椭圆定义

本题导读

本题考查利用椭圆定义求动点轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 已知 $A\left(-\frac{1}{2},0\right)$，$B$ 是圆 $F:{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=4$（$F$ 为圆心）上一动点，线段 $AB$ 的垂直平分线交 $BF$ 于 $P$，则动点 $P$ 的轨迹方程为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $F\left(\frac{1}{2},0\right)$，半径 2。
2. $|PA|=|PB|$（垂直平分线），$|PB|+|PF|=|BF|=2$。
3. 故 $|PA|+|PF|=2>|AF|=1$，轨迹是以 $A$、$F$ 为焦点的椭圆：$a=1$、$c=\frac{1}{2}$、$b^2=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

Success

$x^2+\frac{4y^2}{3}=1$．

✍【详细解析】

Abstract

圆 $F:{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=4$ 的圆心为 $F\left(\frac{1}{2},0\right)$，半径为 2．因为 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，所以 $|PA|=|PB|$；又 $P$ 在线段 $BF$ 上，故 $|PB|+|PF|=|BF|=2$，从而 $|PA|+|PF|=2$．由于 $|AF|=1<2$，动点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$F$ 为焦点、长轴长 $2a=2$ 的椭圆，即 $a=1$，$c=\frac{1}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{3}{4}$．焦点在 $x$ 轴上，故轨迹方程为 $x^2+\frac{y^2}{3/4}=1$，即 $x^2+\frac{4y^2}{3}=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：垂直平分线与椭圆定义

核心方法：$|PA|+|PF|=|PB|=2$，且 $2a=\sqrt{3}+?$——$|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|$ 不对，应 $|PA|=|PB|$，$|PF|+|PB|=2$ 即 $|PF|+|PA|=2$，$2a=2$？——实为 $2a=\frac{4}{?}$：$A$ 在圆外，$|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=2$，故 $a=1$？——官方答案 $x^2+\frac{4y^2}{3}=1$：$2a=2$、$a=1$、$c=\frac{1}{2}$、$b^2=\frac{3}{4}$

避坑指南：垂直平分线 $\Rightarrow |PA|=|PB|$；$|PB|+|PF|=|BF|$ 半径 2——动点 $P$ 到两定点 $A$、$F$ 距离和为 2，$|AF|=1<2$，轨迹是椭圆；$a=1$、$c=\frac{1}{2}$、$b^2=\frac{3}{4}$——焦点在 $x$ 轴（$A(-\frac{1}{2},0)$、$F(\frac{1}{2},0)$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 椭圆定义

结论推广：$|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2$，$a=1$、$c=\frac{1}{2}$、$b^2=\frac{3}{4}$，轨迹 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3/4}=1$

方法推广：垂直平分线转化为 $|PA|=|PB|$，凑出”到两定点距离和为定值”的椭圆定义——焦点就是 $A$ 与 $F$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-21 解-椭圆方程轨迹与面积最值
• 2006-江西文-21 解-椭圆中点轨迹
• 2010-天津文-21 解-椭圆弦长与垂直平分线