2004-全国卷II文-08 单-线段垂直平分线方程

本题导读

本题考查线段垂直平分线的方程，以及中点坐标与斜率的关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知点 $A(1,2)$，$B(3,1)$，则线段 $AB$ 的垂直平分线的方程为()

A. $4x+2y=5$　　　　B. $4x-2y=5$　　　　C. $x+2y=5$　　　　D. $x-2y=5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 中点 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$，$k_{AB}=\frac{1-2}{3-1}=-\frac{1}{2}$。
2. 垂直平分线斜率 $2$。
3. $y-\frac{3}{2}=2(x-2)$ 化一般式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

线段 $AB$ 的中点为 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$，$AB$ 的斜率为 $\frac{1-2}{3-1}=-\frac{1}{2}$.故垂直平分线的斜率为 $2$，方程为 $y-\frac{3}{2}=2(x-2)$，化简得 $4x-2y=5$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线段垂直平分线方程
2. 核心方法：中点 $(2,\frac{3}{2})$，$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，垂线斜率 $2$：$y-\frac{3}{2}=2(x-2)$，即 $4x-2y=5$
3. 避坑指南：垂直平分线过中点且斜率为 $-1/k_{AB}$——$k_{AB}=\frac{1-2}{3-1}=-\frac{1}{2}$，垂线斜率是 $2$ 不是 $-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线方程，教材”直线的两点式与点斜式”
2. 结论推广: 一般化：垂直平分线 = 中点 + 负倒数斜率；先算中点与原斜率，再写点斜式化一般式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷文-11 填-圆的弦的垂直平分线
• 2005-重庆卷文-16 填-垂直平分线与椭圆定义
• 2010-湖南卷文-14 填-垂直平分线圆对称