2005-湖南卷文-11 填-圆的弦的垂直平分线

本题导读

本题考查圆的弦的垂直平分线方程的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 设直线 $2x+3y+1=0$ 和圆 $x^2+y^2-2x-3=0$ 相交于点 $A$、$B$，则弦 $AB$ 的垂直平分线方程是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆化标准式 $(x-1{)}^2+y^2=4$，圆心 $(1,0)$。
2. 弦的垂直平分线过圆心，且垂直于已知直线。
3. 由垂直得斜率 $\frac{3}{2}$，点斜式写方程。

✅【答案】

Success

$3x-2y-3=0$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-2x-3=0$ 化为 $(x-1{)}^2+y^2=4$，圆心为 $(1,0)$．由垂径定理，弦 $AB$ 的垂直平分线过圆心，且与直线 $2x+3y+1=0$ 垂直．已知直线斜率为 $-\frac{2}{3}$，故垂直平分线斜率为 $\frac{3}{2}$，方程为 $y=\frac{3}{2}(x-1)$，即 $3x-2y-3=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦的垂直平分线

核心方法：垂径定理：弦的垂直平分线过圆心，圆心 $(1,0)$ 与弦中点连线定直线

避坑指南：弦的垂直平分线必过圆心——先求圆心化标准式，再用两点式；别用斜率乘积 $-1$ 时漏掉圆心坐标化简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 圆的方程

结论推广：圆心 $(1,0)$，半径 2；弦中点与圆心连线即垂直平分线，方程 $3x-2y-3=0$

方法推广：垂径定理向量形式：圆心与弦中点连线垂直于弦——比解交点求中点再作垂线快

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-11 单-解三角形
• 2018-全国卷III文-11 单-三角形面积
• 2017-全国卷I文-11 单-正弦定理