2004-全国卷III文-10 单-正三棱锥体积

本题导读

本题考查正三棱锥的体积，以及侧面为直角三角形时的结构特征。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 正三棱锥的底面边长为 $2$，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 侧面均为直角三角形，侧棱两两垂直且相等，设侧棱 $a$。
2. $a^2+a^2=2^2$，$a=\sqrt{2}$。
3. 高 $h=\sqrt{a^2-R^2}$（$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$），体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

正三棱锥侧面均为直角三角形时，侧棱两两垂直且相等。设侧棱为 $a$，底面边长 $2$ 满足 $a^2+a^2=2^2$，故 $a=\sqrt{2}$.底面正三角形面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$，外接圆半径 $R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，高 $h=\sqrt{a^2-R^2}=\sqrt{2-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.体积 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱锥体积
2. 核心方法：侧面均为直角三角形、底面边长 2：侧棱两两垂直且相等，设侧棱 $a$，$a^2+a^2=2^2\Rightarrow a=\sqrt{2}$；体积 $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2\cdot h$，其中高 $h=\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$V=\frac{\sqrt{2}}{3}$
3. 避坑指南：正三棱锥侧面为直角三角形时，顶点在底面的射影是底面外心；高 $h=\sqrt{a^2-R^2}$（$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 为底面外接圆半径）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正三棱锥体积，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：侧面为直角三角形的正三棱锥，侧棱两两垂直，高由侧棱与底面外接圆半径定；顶点射影是底面外心；高 $h=\sqrt{a^2-R^2}$，体积 $\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-16 解-正三棱锥二面角与体积
• 2009-新课标Ⅰ文-18 解-向量垂直与三棱锥体积
• 2014-新课标Ⅱ文-07 单-三棱锥体积