2003-天津文-10 单-正方体内接八面体体积

本题导读

本题考查正方体相邻面中心连线构成的八面体体积。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()

A. $\frac{a^3}{3}$　　　　　　B. $\frac{a^3}{4}$　　　　　　C. $\frac{a^3}{6}$　　　　　　D. $\frac{a^3}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 相邻面中心连线构成正八面体，可分解为两个四棱锥。
2. 底面为边长 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 的正方形，面积 $S=\frac{a^2}{2}$，高 $h=\frac{a}{2}$。
3. 体积 $V=2\times \frac{1}{3}Sh=2\times \frac{1}{3}\times \frac{a^2}{2}\times \frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

正方体六个面的中心构成正八面体的六个顶点，它可看作上下两个四棱锥（底面是过正方体中心、平行于正方体某对棱的截面正方形，边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$，面积 $S=\frac{a^2}{2}$），四棱锥的高为 $\frac{a}{2}$.故八面体体积 $V=2\times \frac{1}{3}Sh=2\times \frac{1}{3}\times \frac{a^2}{2}\times \frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体内接八面体体积
2. 核心方法：八面体由两个四棱锥合成，底面为边长 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 的正方形（面积为 $\frac{a^2}{2}$），高 $\frac{a}{2}$，体积 $2\times \frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$
3. 避坑指南：相邻面中心连线构成正八面体；分两四棱锥求体积，勿漏 $\times 2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正方体与八面体，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：正八面体可分解为两个四棱锥；分解体积，底面与高各取一半

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2006-安徽文-06 单-正八面体外接球
• 2004-全国卷III文-10 单-正三棱锥体积